التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين
المفاهيم الأساسية
- التوزيع الهندسي يعد عدد المحاولات حتى أول نجاح مع ثبات p واستقلال المحاولات.
- توزيع ذي الحدين يعد النجاحات في n محاولات مستقلة ذات احتمال نجاح ثابت.
- في ذي الحدين المتوسط np والتباين npq.
القوانين
P(X=k) هندسي = q^(k-1)pP(X=k) ثنائي = C(n,k)p^k q^(n-k)μ=np، σ²=npq
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: هندسي p=0.3؛ احتمال أول نجاح في المحاولة الثالثة.
الحل: 0.7²×0.3=0.147.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. هندسي p=0.3؛ احتمال أول نجاح في المحاولة الثالثة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.7²×0.3=0.147.
2. هندسي p=0.4؛ احتمال النجاح في المحاولة الأولى.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.4.
3. هندسي p=0.25؛ احتمال أكثر من محاولتين حتى النجاح.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: q²=.75²=.5625.
4. ثنائي n=5,p=0.6؛ احتمال 3 نجاحات.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: C(5,3).6³.4²=0.3456.
5. ثنائي n=4,p=0.5؛ احتمال نجاحين.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 6/16=0.375.
6. ثنائي n=6,p=0.2؛ احتمال صفر نجاح.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.8^6=0.262144.
7. ثنائي n=10,p=0.3؛ أوجد المتوسط.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: np=3.
8. ثنائي n=10,p=0.3؛ أوجد التباين.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: npq=2.1.
9. هل السحب دون إرجاع من مجتمع صغير يحقق استقلال ثنائي الحدين؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا.
10. تجربة لها ثلاث نتائج محتملة؛ هل هي تجربة برنولي مباشرة؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا؛ برنولي نتيجتان فقط.
11. ثنائي n=3,p=.5؛ احتمال نجاح واحد على الأقل.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1-P(0)=1-.5³=.875.
12. ثنائي n=3,p=.5؛ احتمال على الأكثر نجاح واحد.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: P(0)+P(1)=1/8+3/8=1/2.