الانحدار
المفاهيم الأساسية
- الانحدار يبني معادلة للتنبؤ بمتغير تابع من متغير مستقل.
- خط انحدار ص على س يمر بالنقطة (س̄، ص̄).
- الميل يبين مقدار تغير ص المتوقع عند زيادة س وحدة واحدة.
القوانين
ŷ = a + bxb = r(sy/sx)، a = ȳ - b x̄
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: إذا كان س̄=10، ص̄=25، انحراف س=2، انحراف ص=6، r=0.8؛ أوجد ŷ=a+bس ثم تنبأ عند س=12.
الحل: b=2.4، a=1، ŷ=29.8.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. إذا كان س̄=10، ص̄=25، انحراف س=2، انحراف ص=6، r=0.8؛ أوجد ŷ=a+bس ثم تنبأ عند س=12.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: b=2.4، a=1، ŷ=29.8.
2. إذا كان س̄=20، ص̄=50، انحراف س=5، انحراف ص=10، r=-0.5؛ أوجد ŷ=a+bس ثم تنبأ عند س=15.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: b=-1، a=70، ŷ=55.
3. إذا كان س̄=8، ص̄=18، انحراف س=4، انحراف ص=8، r=0.75؛ أوجد ŷ=a+bس ثم تنبأ عند س=10.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: b=1.5، a=6، ŷ=21.
4. إذا كان س̄=30، ص̄=70، انحراف س=6، انحراف ص=9، r=0.4؛ أوجد ŷ=a+bس ثم تنبأ عند س=36.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: b=0.6، a=52، ŷ=73.6.
5. في المعادلة ŷ=12+3س، فسر الميل.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: كل زيادة وحدة في س تقابلها زيادة متوقعة قدرها 3 في ص.
6. تنبأ بص عند س=7 إذا ŷ=5+2س.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: ŷ=19.
7. إذا كانت ŷ=40-1.5س، فأوجد ص المتوقعة عند س=8.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: ŷ=28.
8. تحقق أن الخط ŷ=4+2س يمر بالنقطة (س̄=3،ص̄=10).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: بالتعويض: 4+2×3=10، إذن يمر بها.
9. هل يصلح نموذج مبني على س من 5 إلى 20 للتنبؤ عند س=100 بثقة؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا؛ هذا استقراء بعيد خارج نطاق البيانات.
10. إذا كان الميل صفرًا، ماذا يعني؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا يتغير التنبؤ بص خطيًا بتغير س.
11. قارن تنبؤي النموذجين ŷ=2+س وŷ=8+0.5س عند س=4.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: الأول 6 والثاني 10.
12. البواقي الفعلية: ص=18 والمتوقعة=15. احسب الباقي.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: الباقي = 18-15 = 3.