التوقع والتباين للمتغير العشوائي المتقطع
المفاهيم الأساسية
- التوقع متوسط طويل الأجل مرجح بالاحتمالات.
- التباين يقيس متوسط مربع البعد عن التوقع.
- الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.
القوانين
E(X)=Σx p(x)Var(X)=E(X²)-[E(X)]²SD(X)=√Var(X)
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: X:0,1,2 باحتمالات 0.2,0.5,0.3؛ أوجد E(X).
الحل: 0×.2+1×.5+2×.3=1.1.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. X:0,1,2 باحتمالات 0.2,0.5,0.3؛ أوجد E(X).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0×.2+1×.5+2×.3=1.1.
2. للتوزيع السابق أوجد E(X²).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0+0.5+4×0.3=1.7.
3. للتوزيع السابق أوجد Var(X).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1.7-1.1²=0.49.
4. للتوزيع السابق أوجد الانحراف المعياري.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: √0.49=0.7.
5. ربح لعبة: 10 باحتمال 0.3 وخسارة 4 باحتمال 0.7؛ أوجد العائد المتوقع.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 10×.3-4×.7=0.2.
6. إذا E(X)=5 وE(X²)=29، أوجد التباين.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 29-25=4.
7. إذا Var(X)=9، أوجد SD.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 3.
8. إذا Y=2X+3 وE(X)=4، أوجد E(Y).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 11.
9. إذا Y=2X+3 وVar(X)=5، أوجد Var(Y).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 4×5=20.
10. قارن توزيعين لهما المتوسط نفسه وتباينهما 2 و8.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: الأول أقل تشتتًا.
11. هل التوقع يجب أن يكون قيمة ممكنة للمتغير؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا؛ هو متوسط طويل الأجل وقد لا يكون قيمة فردية ممكنة.
12. توزيع برنولي باحتمال نجاح 0.65؛ أوجد المتوسط والتباين.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: μ=0.65، σ²=.65×.35=.2275.