التقدير الإحصائي وفترات الثقة
المفاهيم الأساسية
- تقدير النقطة يستخدم إحصاء عينة لتقدير معلمة المجتمع.
- فترة الثقة تعطي نطاقًا مع مستوى ثقة محدد.
- يزداد هامش الخطأ مع التشتت ويقل مع زيادة حجم العينة.
القوانين
CI للمتوسط مع σ معلومة: x̄ ± z* σ/√nهامش الخطأ E=z* σ/√n
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: عينة متوسطها 50، σ=10، n=100، z*=1.96؛ احسب هامش الخطأ.
الحل: 1.96×10/10=1.96.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. عينة متوسطها 50، σ=10، n=100، z*=1.96؛ احسب هامش الخطأ.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1.96×10/10=1.96.
2. للسؤال السابق اكتب فترة الثقة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: [48.04,51.96].
3. متوسط 120، σ=20، n=64، z*=1.96؛ أوجد الفترة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: E=4.9؛ الفترة [115.1,124.9].
4. إذا تضاعف n أربع مرات، ماذا يحدث لـE؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: ينخفض إلى النصف.
5. إذا ارتفع مستوى الثقة، ماذا يحدث عادة لهامش الخطأ؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: يزداد.
6. إذا زاد σ مع ثبات n، ماذا يحدث للفترة؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: تتسع.
7. ميّز بين 72 كناتج عينة وμ المجتمع.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 72 تقدير نقطة، وμ معلمة مجهولة.
8. فترة [40,46]؛ أوجد المركز وهامش الخطأ.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: المركز 43، والهامش 3.
9. فترة [18.5,21.5]؛ أوجد عرضها.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 3.
10. هل ثقة 95% تعني أن احتمال المعلمة الثابتة داخل الفترة المحسوبة هو .95 حرفيًا؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: التفسير التكراري: 95% من الفترات المبنية بالطريقة نفسها تحتوي المعلمة.
11. لخفض هامش الخطأ دون تغيير الثقة أو σ، ماذا نفعل؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: نزيد حجم العينة.
12. إذا E=2 وx̄=35، اكتب فترة الثقة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: [33,37].