دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المتصل
المفاهيم الأساسية
- المتغير المتصل يأخذ أي قيمة داخل فترة.
- الاحتمال يساوي المساحة تحت منحنى الكثافة.
- احتمال قيمة مفردة في توزيع متصل يساوي صفرًا.
القوانين
f(x)≥0∫f(x)dx=1P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx
مثال محلول
نقرأ المطلوب، ونحدد البيانات والرموز، ثم نختار القانون المناسب ونعوض بالقيم مع الحفاظ على ترتيب العمليات. بعد الوصول إلى الرقم نفسره في سياق المسألة؛ فالقيمة الإحصائية بلا تفسير لا تكمل الحل.
نموذج من الدرس: إذا f(x)=k على [0,4]، أوجد k.
الحل: 4k=1، إذن k=1/4.
أخطاء شائعة
- التعويض قبل تحديد المطلوب.
- نسيان المتمم أو التقاطع أو تربيع المتوسط في القانون المناسب.
- تقريب الأعداد في خطوة مبكرة فتتغير الإجابة النهائية.
- كتابة رقم صحيح دون تفسير إحصائي.
Practice Questions
1. إذا f(x)=k على [0,4]، أوجد k.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 4k=1، إذن k=1/4.
2. للكثافة السابقة أوجد P(1≤X≤3).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: الطول 2×1/4=1/2.
3. إذا f(x)=2x على [0,1]، تحقق من كونها كثافة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: ∫0^1 2x dx=1 وهي غير سالبة.
4. للكثافة f(x)=2x على [0,1] أوجد P(X≤0.5).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: ∫0^.5 2x dx=.25.
5. في متغير متصل، أوجد P(X=2).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.
6. إذا المساحة تحت المنحنى بين 2 و5 تساوي .35، فما P(2≤X≤5)؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.35.
7. إذا P(X≤a)=.7، أوجد P(X>a).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.3.
8. هل دالة تأخذ قيمة سالبة تصلح كثافة؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: لا.
9. كثافة ثابتة على [2,7]؛ أوجد ارتفاعها.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 1/(7-2)=0.2.
10. للتوزيع المنتظم على [2,7] أوجد P(3≤X≤5).
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 2/5=0.4.
11. إذا P(X<4)=.55، فما P(X≥4)؟
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: 0.45؛ ولا فرق عند نقطة مفردة.
12. فسر الاحتمال في منحنى الكثافة.
See if you got it right — تحقق من إجابتك
الإجابة: مساحة تحت المنحنى على الفترة المطلوبة.