أسئلة تدريبية
1. كيف تُفسّر مستويات الطاقة في ذرة بور من منظور موجات دي بروي؟
المستويات الطاقية المسموحة هي تلك التي يتلاءم فيها الطول الموجي للإلكترون مع محيط المدار: 2πr = nλ = nh/(mv). هذا يُفسّر تحديد المستويات: الإلكترون موجة دائمة (resonant standing wave) في مدار محدد.
2. فوتون طوله الموجي 400 نانومتر. احسب طاقته. c=3×10⁸ م/ث
f=c/λ=3×10⁸/4×10⁻⁷=7.5×10¹⁴ Hz. E=6.626×10⁻³⁴×7.5×10¹⁴=4.97×10⁻¹⁹ J≈3.1 eV.
3. ما الذي تُغيّره شدة الضوء (عند تردد فوق الحدي) في الظاهرة الكهروضوئية؟
تزيد شدة الضوء عدد الفوتونات في الثانية، ومن ثم عدد الإلكترونات المُطلقة (التيار)، لكنها لا تُغير KE_max للإلكترونات. KE_max تعتمد فقط على التردد.
4. ما الذي أثبتته الظاهرة الكهروضوئية عن طبيعة الضوء؟
أثبتت الطبيعة الجسيمية للضوء (الفوتونات). الموجي البحت لا يُفسّر وجود تردد حدي أو أن KE_max لا تعتمد على الشدة. أينشتاين حل هذه الإشكاليات عبر فرضية الكم.
5. مصدر ضوئي قدرته 10 ميلي واط طوله الموجي 500nm. كم فوتون يصدر في الثانية؟
E_فوتون=hc/λ=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/5×10⁻⁷=3.976×10⁻¹⁹ J. N=P/E=0.01/3.976×10⁻¹⁹≈2.51×10¹⁶ فوتون/ث.
6. ما المحدد الرئيسي لجودة أنبوب الأشعة السينية الطبي (حدة الصورة)؟
1) حجم بقعة الهدف (الأصغر←أحدة). 2) فرق الجهد (يُحدد الطاقة وبالتالي قدرة الاختراق). 3) ثبات الإشارة. 4) التبريد: طاقة الإلكترونات تتحول 99% حرارة و1% فقط أشعة X.
7. لماذا يتوهج الهدف المعدني في أنبوب الأشعة السينية؟
لأن 99% تقريبًا من طاقة الإلكترونات تتحول لحرارة (ليس أشعة X). لذا يحتاج الهدف (تنجستن) لتبريد مستمر ولديه نقطة انصهار عالية جدًا (3422°C). بعض الأنابيب تستخدم هدفًا دوارًا لتوزيع الحرارة.
8. ما الدليل التجريبي على ازدواجية الموجة-الجسيم للإلكترون؟
تجربة دافيسون وجيرمر (1927): أطلقا إلكترونات على بلورة نيكل فظهر نمط حيود (مثل الأشعة السينية) مطابق للتنبؤات من علاقة دي بروي. هذا أثبت أن الإلكترونات تتصرف كموجات.
9. إلكترون تسارع عبر V=100V. احسب طوله الموجي. e=1.6×10⁻¹⁹
KE=eV=1.6×10⁻¹⁷ J. v=√(2KE/m)=√(2×1.6×10⁻¹⁷/9.11×10⁻³¹)=√(3.51×10¹³)=5.93×10⁶ م/ث. λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/(9.11×10⁻³¹×5.93×10⁶)=1.23×10⁻¹⁰م≈0.123 nm.
10. ما جهد الإيقاف (stopping potential) وكيف يُستخدم لقياس KE_max؟
جهد الإيقاف V₀ هو فرق الجهد السالب الكافي لإيقاف حتى أسرع الإلكترونات. عند ذلك: KE_max=eV₀. يُقاس V₀ بإبطاء الإلكترونات حتى يصل التيار للصفر.
11. ما الفرق الجوهري بين ازدواجية الموجة-الجسيم في عالم الكم وبين مثال الرياح المائية (موجات ماء)؟
موجات الماء: ظاهرة جماعية لملايين الجزيئات تتحرك في وسط مادي. الموجة الكمية: خاصية لجسيم منفرد، وهي موجة احتمالية ليست في وسط مادي. كل جسيم منفرد يتداخل مع نفسه ويُعطي نمط حيود (تجربة الإلكترون الواحد).
12. أشعة X طولها الموجي 0.1نانومتر تسقط على بلورة d=0.2nm. عند أي زاوية يحدث حيود الرتبة الأولى؟
2d·sinθ=1λ→sinθ=0.1/(2×0.2)=0.25→θ=14.5°.
13. قارن بين فوتون ضوء وإلكترون كلاهما له نفس الطول الموجي λ=0.1nm. احسب طاقة الفوتون وطاقة الإلكترون.
طاقة الفوتون: E=hc/λ=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/10⁻¹⁰=1.99×10⁻¹⁵ J≈12.4 keV. الإلكترون: p=h/λ=6.626×10⁻³⁴/10⁻¹⁰=6.626×10⁻²⁴. KE=p²/(2m)=(6.626×10⁻²⁴)²/(2×9.11×10⁻³¹)=2.41×10⁻¹⁷ J≈150 eV. الفوتون أكثر طاقةً للنفس الطول الموجي.
14. لماذا تُستخدم الأشعة السينية وليس الضوء المرئي في دراسة البنية البلورية؟
لأن المسافات بين الذرات في البلورات (~0.1-1nm) مماثلة لأطوال موجات الأشعة السينية، مما يُتيح حيودًا قابلًا للقياس. أطوال موجات الضوء المرئي (400-700nm) أكبر بكثير فلا تُنتج حيودًا مناسبًا.
15. كيف يساعد تحليل الحيود بالأشعة السينية (XRD) في اكتشاف بنية DNA؟
فرانكلين وويلكينز استخدما XRD لتصوير ألياف DNA. أنماط حيود المحاور Bragg كشفت البنية الحلزونية المزدوجة والمسافات بين أزواج القواعد، وهو ما استخدمه واتسون وكريك لتأكيد نموذجهما.
16. كرة كتلتها 0.1كجم تتحرك بـ10م/ث. احسب طولها الموجي. لماذا لا نلاحظ طبيعتها الموجية؟
λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/1=6.626×10⁻³⁴ م. لا نلاحظه لأنه أصغر بكثير من أي حجم ذري (~10⁻¹⁰م). الطبيعة الموجية ذات أثر عملي فقط للجسيمات دون الذرية.
17. إلكترون تسارع عبر 50 kV. احسب أقصر طول موجي للأشعة السينية الناتجة. h=6.626×10⁻³⁴، c=3×10⁸، e=1.6×10⁻¹⁹
λ_min=hc/(eV)=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/(1.6×10⁻¹⁹×50000)=1.989×10⁻²⁵/8×10⁻¹⁵=2.49×10⁻¹¹ م=0.0249 نانومتر.
18. معدن دالة شغله 2eV. ما التردد الحدي؟ ما أطول طول موجي يُسبّب الظاهرة؟ 1eV=1.6×10⁻¹⁹J
φ=2×1.6×10⁻¹⁹=3.2×10⁻¹⁹ J. f₀=φ/h=3.2×10⁻¹⁹/6.626×10⁻³⁴≈4.83×10¹⁴ Hz. λ_max=c/f₀=3×10⁸/4.83×10¹⁴≈621 نانومتر.
19. لماذا لا يمكن حبس إلكترون في نواة الذرة (نصف قطرها ~10⁻¹⁵م)؟ استخدم مبدأ هايزنبرغ.
Δx~10⁻¹⁵م→Δp≥ħ/(2Δx)=1.055×10⁻³⁴/(2×10⁻¹⁵)≈5.3×10⁻²⁰ كجم·م/ث. KE_min=(Δp)²/(2m)≈1.5×10⁻⁹ J≈10⁹ eV. هذه الطاقة هائلة لا تمتلكها الإلكترونات الذرية. لذا لا يمكن حبس الإلكترون في النواة.
20. لماذا لا تُطلق مصابيح قوية ذات تردد منخفض إلكترونات من المعدن؟
لأن الظاهرة الكهروضوئية تعتمد على تردد الفوتون لا شدة الضوء. كل فوتون يتفاعل بشكل مستقل مع إلكترون. إذا كانت طاقة الفوتون (hf) أقل من دالة الشغل (φ)، لن يُطلق أي إلكترون بغض النظر عن عدد الفوتونات.
21. احسب الجهد اللازم لإنتاج أشعة X طولها الموجي 0.05nm.
V=hc/(eλ)=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/(1.6×10⁻¹⁹×5×10⁻¹¹)=1.989×10⁻²⁵/8×10⁻³⁰=24,862 V≈24.9 kV.
22. ما العلاقة بين طاقة الفوتون وطوله الموجي؟ كيف يوضح ذلك لماذا الأشعة السينية أخطر من الضوء المرئي؟
E=hc/λ→E∝1/λ. الأشعة السينية (λ≈0.1nm) لها طاقة فوتون أكبر بآلاف المرات من الضوء المرئي (λ≈500nm). طاقتها الكبيرة كافية لكسر الروابط الجزيئية وتأيين الذرات في الأنسجة الحية.
23. بلورة d=0.154nm. أشعة X λ=0.154nm. احسب زوايا حيود أول وثاني رتبة.
n=1: sinθ=nλ/(2d)=0.154/0.308=0.5→θ=30°. n=2: sinθ=0.308/0.308=1→θ=90° (غير قابل للقياس عمليًا).
24. ما الأساس الفيزيائي لاستخدام المجهر الإلكتروني بدلًا من الضوئي للأجسام الصغيرة جدًا؟
الإلكترونات المتسارعة لها أطوال موجية أصغر بكثير من الضوء المرئي. الميكروسكوب يُفرّق بين تفاصيل مشابهة لطوله الموجي فقط. الإلكترون على 100kV: λ≈0.004nm مقارنة بـ400-700nm للضوء.
25. احسب الطول الموجي لدي بروي لإلكترون سرعته 10⁶ م/ث. mₑ=9.11×10⁻³¹
λ=h/(mv)=6.626×10⁻³⁴/(9.11×10⁻³¹×10⁶)=6.626×10⁻³⁴/9.11×10⁻²⁵=7.27×10⁻¹⁰ م≈0.727 نانومتر.
26. ما الذي تمثله الموجة في ميكانيكا الكم؟ هل هي موجة مادية حقيقية؟
لا. الموجة في ميكانيكا الكم هي الدالة الموجية ψ التي يمثل مربعها |ψ|² كثافة احتمال وجود الجسيم في مكان ما. ليست موجة مادة تتموج في وسط بل موجة احتمالية.
27. ما التطبيقات الطبية للأشعة السينية؟ وما مخاطرها؟
التطبيقات: تصوير العظام والصدر، CT scan، تصوير الثدي (ماموغرافي). المخاطر: تأيين الأنسجة يمكنه كسر الحمض النووي وقد يسبب طفرات وسرطانًا. لهذا تُستخدم جرعات أدنى ممكنة.
28. كيف وظّف ميليكان تجربته في تأكيد معادلة أينشتاين للظاهرة الكهروضوئية؟
قاس ميليكان KE_max للإلكترونات عند ترددات مختلفة. وجد أن العلاقة بين KE_max وf خط مستقيم ميله=h (ثابت بلانك). هذا أكّد معادلة أينشتاين وأعطى قيمة h تتوافق مع تجارب مستقلة أخرى.
29. إلكترون طاقته 30keV يصطدم بهدف تنجستن. ما الحد الأقصر موجيًا؟
λ_min=hc/E=6.626×10⁻³⁴×3×10⁸/(30000×1.6×10⁻¹⁹)=1.989×10⁻²⁵/4.8×10⁻¹⁵=4.14×10⁻¹¹م≈0.041nm.
30. احسب عدم اليقين في موضع إلكترون إذا كان عدم اليقين في زخمه Δp=10⁻²⁴ كجم·م/ث. ħ=1.055×10⁻³⁴
Δx≥ħ/(2Δp)=1.055×10⁻³⁴/(2×10⁻²⁴)=5.28×10⁻¹¹ م≈0.053 نانومتر.
31. احسب سرعة إلكترون انطلق بـKE=1.6×10⁻¹⁹J. mₑ=9.11×10⁻³¹
v=√(2KE/m)=√(2×1.6×10⁻¹⁹/9.11×10⁻³¹)=√(3.51×10¹¹)≈5.93×10⁵ م/ث.
32. احسب طاقة فوتون ضوء تردده 6×10¹⁴ Hz. h=6.626×10⁻³⁴
E=hf=6.626×10⁻³⁴×6×10¹⁴=3.976×10⁻¹⁹ J≈2.48 eV.
33. ما مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ وما فلسفته؟
Δx·Δp ≥ ħ/2. لا يمكن قياس موضع الجسيم وكميته التحرك معًا بدقة غير محدودة. هذا ليس محدودية في الأجهزة بل حقيقة أساسية في الطبيعة: فعل القياس يُغيّر الجسيم. الفلسفة: الجسيمات لا تمتلك خصائص محددة قبل القياس.
34. ما الفرق بين الطيف المستمر والطيف الخطي للأشعة السينية؟
المستمر (Bremsstrahlung): ينتج عن تباطؤ الإلكترونات بشكل تدريجي. الأقصر موجيًا يعتمد على فرق الجهد. الخطي: ينتج عن الانتقالات الذرية بين مستويات محددة، طوله الموجي يحدد نوع العنصر المستهدف.
35. فوتون تردده 8×10¹⁴ Hz سقط على معدن f₀=4×10¹⁴ Hz. احسب KE_max للإلكترون المُطلق.
KE_max=h(f−f₀)=6.626×10⁻³⁴×(8−4)×10¹⁴=6.626×10⁻³⁴×4×10¹⁴=2.65×10⁻¹⁹ J.
36. ما الفرق بين التصوير بالأشعة السينية التقليدي والـCT scan؟
التقليدي: صورة مستوية (2D) تعرض ظلالًا متراكبة. CT: جهاز يلتقط صورًا من زوايا كثيرة حول الجسم، يُعيد بناؤها حاسوبيًا كمقاطع 3D دقيقة تُظهر الأنسجة الرخوة والأورام بوضوح أكبر.
37. مصباح ليزر يُصدر ضوءًا طوله الموجي 650 نانومتر بقدرة 5 ميلي واط. احسب عدد الفوتونات الصادرة عنه في الثانية الواحدة (h=6.626×10⁻³⁴J·s، c=3×10⁸م/ث).
طاقة الفوتون الواحد = hc/λ = (6.626×10⁻³⁴ × 3×10⁸) / (650×10⁻⁹) ≈ 3.06×10⁻¹⁹ J. عدد الفوتونات في الثانية = القدرة / طاقة الفوتون = 0.005 / 3.06×10⁻¹⁹ ≈ 1.64×10¹⁶ فوتون/ث.
38. فلز دالة شغله 3 eV يتعرض لضوء طاقة كل فوتون منه 4.5 eV. احسب جهد الإيقاف اللازم لإيقاف أسرع الإلكترونات المنبعثة بالتأثير الكهروضوئي.
أقصى طاقة حركية = طاقة الفوتون − دالة الشغل = 4.5 − 3 = 1.5 eV. وبما أن جهد الإيقاف (بالفولت) يساوي عدديًا أقصى طاقة حركية معبَّرًا عنها بوحدة الإلكترون فولت، فإن جهد الإيقاف = 1.5 V.
39. دالة شغل فلز 2.5 eV. احسب أطول طول موجي للضوء الذي يمكن أن يُحدث معه التأثير الكهروضوئي (h=6.626×10⁻³⁴J·s، c=3×10⁸م/ث، 1eV=1.6×10⁻¹⁹J).
دالة الشغل بالجول = 2.5 × 1.6×10⁻¹⁹ = 4×10⁻¹⁹ J. أطول طول موجي مؤثر (عند تردد العتبة بالضبط) = hc/φ = (6.626×10⁻³⁴×3×10⁸)/(4×10⁻¹⁹) ≈ 4.97×10⁻⁷ m ≈ 497 نانومتر.
40. قارن بين معادلة أينشتاين للتأثير الكهروضوئي (E_فوتون = φ + KE_max) وقانون حفظ الطاقة. كيف تُمثل هذه المعادلة تطبيقًا مباشرًا لهذا القانون؟
تنص المعادلة على أن طاقة الفوتون الممتص تتوزع بالكامل بين جزأين: الطاقة اللازمة لتحرير الإلكترون من سطح الفلز (دالة الشغل φ)، وما يتبقى كطاقة حركية للإلكترون بعد تحرره (KE_max). وهذا تطبيق مباشر لقانون حفظ الطاقة: لا تضيع أي طاقة من طاقة الفوتون الممتصة، بل تتحول بالكامل إلى هاتين الصورتين.
41. فلزان لهما دالتا شغل مختلفتان (الأول أصغر من الثاني)، ويتعرضان لنفس تردد الضوء، وهو فوق تردد العتبة لكليهما. أي الفلزين تكون طاقته الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة منه أكبر؟ ولماذا؟
الفلز ذو دالة الشغل الأصغر تكون طاقته الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة منه أكبر؛ لأن KE_max = hf − φ، وعند ثبات تردد الضوء (وبالتالي hf)، فإن تقليل φ يزيد القيمة الناتجة لـ KE_max.
42. أنبوب أشعة سينية يعمل بفرق جهد مُسرِّع 45kV. احسب أقصر طول موجي ممكن للأشعة السينية الناتجة (h=6.626×10⁻³⁴J·s، c=3×10⁸م/ث، e=1.6×10⁻¹⁹C).
λ_min = hc/(eV) = (6.626×10⁻³⁴×3×10⁸) / (1.6×10⁻¹⁹×45000) = 1.988×10⁻²⁵ / 7.2×10⁻¹⁵ ≈ 2.76×10⁻¹¹ m.
43. إذا زاد فرق الجهد المُسرِّع في أنبوب أشعة سينية من 40kV إلى 80kV، بكم يتغير أقصر طول موجي ممكن للأشعة الناتجة تقريبًا؟
يقل أقصر طول موجي ممكن إلى النصف تقريبًا؛ لأن λ_min = hc/(eV)، وهي تتناسب عكسيًا مع فرق الجهد المُسرِّع V، فمضاعفة V تُنصِّف λ_min.
44. ما الفرق الأساسي بين آلية إنتاج الطيف المستمر للأشعة السينية (الناتج عن تباطؤ الإلكترونات المفاجئ عند اصطدامها بالهدف) وآلية إنتاج الطيف الخطي المميز؟
ينشأ الطيف المستمر من تباطؤ الإلكترونات السريعة فجأة عند اصطدامها بذرات الهدف المعدني، فتتحول طاقتها الحركية المفقودة إلى فوتونات بطاقات متفاوتة تصل إلى حد أقصى (bremsstrahlung). أما الطيف الخطي المميز فينشأ من انتقالات إلكترونية بين مستويات طاقة داخلية محددة في ذرات الهدف نفسها، بعد أن يُزيح إلكترون سريع أحد إلكترونات المستويات الداخلية، فتنتج خطوط طيفية حادة مميزة لعنصر الهدف تحديدًا.
45. لماذا تحتاج غرف تشغيل أجهزة الأشعة السينية الطبية إلى جدران مُدرَّعة بالرصاص لحماية العاملين بها؟
الأشعة السينية إشعاع مؤيّن عالي الطاقة قادر على اختراق الأنسجة الرخوة وقد يُسبب ضررًا بيولوجيًا (كتأيين الجزيئات وإتلاف الحمض النووي) عند التعرض المتكرر أو المفرط له؛ والرصاص مادة كثيفة تمتص الأشعة السينية بفعالية عالية، فيوفر درعًا واقيًا يحمي العاملين من التعرض غير الضروري.
46. بلورة تفصل بين مستوياتها البلورية مسافة 0.28 نانومتر. احسب زاوية الحيود من الرتبة الأولى (n=1) لأشعة سينية طولها الموجي 0.14 نانومتر باستخدام قانون براج (nλ = 2d sinθ).
sinθ = nλ/(2d) = (1×0.14)/(2×0.28) = 0.14/0.56 = 0.25 → θ = sin⁻¹(0.25) ≈ 14.5°.
47. احسب طول موجة دي برولي لبروتون يتحرك بسرعة 3×10⁵ م/ث (كتلة البروتون 1.67×10⁻²⁷kg، h=6.626×10⁻³⁴J·s).
λ = h/(mv) = 6.626×10⁻³⁴ / (1.67×10⁻²⁷ × 3×10⁵) = 6.626×10⁻³⁴ / 5.01×10⁻²² ≈ 1.32×10⁻¹² m.
48. إذا تضاعفت كتلة جسيم متحرك مع بقاء سرعته ثابتة، ماذا يحدث لطول موجة دي برولي المقابلة له؟
يقل طول موجة دي برولي إلى النصف؛ لأن λ = h/(mv)، وهي تتناسب عكسيًا مع كتلة الجسيم عند ثبات سرعته.
49. ما أهمية تجربة ديفيسون-جيرمر (Davisson-Germer) في إثبات صحة فرضية دي برولي عن الطبيعة الموجية للمادة؟
لاحظت التجربة نمط حيود لحزمة إلكترونات مبعثَرة عن بلورة نيكل، وهو نمط يتوافق تمامًا مع تنبؤات التداخل الموجي باستخدام طول موجة دي برولي المحسوب للإلكترونات؛ وهذا التطابق التجريبي أثبت أن الجسيمات المادية كالإلكترون تُظهر فعلًا سلوكًا موجيًا حقيقيًا، وليس مجرد فرضية نظرية.
50. جسيمان مختلفان في الكتلة (الأول أخف من الثاني) يتحركان بنفس كمية التحرك (الزخم الخطي) تمامًا. قارن بين طولي موجة دي برولي لهما.
يتساوى طولا موجة دي برولي لهما تمامًا؛ لأن العلاقة λ = h/p تعتمد فقط على كمية التحرك p، وهي متساوية في الحالتين، بغض النظر عن اختلاف كتلتيهما.