أسئلة تدريبية
1. سيارتان تتحركان في اتجاهين متعاكسين، الأولى بسرعة 25 م/ث والثانية بسرعة 15 م/ث. ما سرعة الأولى نسبة للثانية؟
الاتجاهان متعاكسان فالسرعة النسبية = 25 + 15 = 40 م/ث.
2. طائرة سرعتها 200 م/ث شمالًا، وريح سرعتها 150 م/ث شرقًا. احسب سرعة الطائرة الفعلية نسبة للأرض.
v = √(200²+150²) = √(40000+22500) = √62500 = 250 م/ث. الاتجاه: θ = tan⁻¹(150/200) = 36.87° شرق الشمال.
3. قارب سرعته 5 م/ث عموديًا على نهر، وسرعة الماء 12 م/ث موازية للضفة. ما سرعة القارب الفعلية؟ وما الاتجاه الذي يتجه إليه فعلًا؟
v = √(5²+12²) = √(25+144) = √169 = 13 م/ث. الاتجاه: θ = tan⁻¹(12/5) = 67.4° مع العمود على الضفة.
4. قارب يريد العبور عموديًا لنهر عرضه 120 م، وسرعة القارب في الماء الساكن 4 م/ث، وسرعة التيار 3 م/ث. بأي زاوية يجب أن يوجه القارب ليعبر بشكل مستقيم؟
لتعويض تيار 3 م/ث بسرعة قارب 4 م/ث: sin θ = 3/4، إذن θ = 48.6° مع العمود على الضفة (عكس اتجاه التيار). السرعة الفعلية عبر النهر = √(4²−3²) = √7 ≈ 2.65 م/ث.
5. جسم مركبتا سرعته vₓ = 5 م/ث وvᵧ = 5 م/ث. ما اتجاه سرعته المحصلة مع المحور الأفقي؟ ولماذا؟
θ = tan⁻¹(vᵧ/vₓ) = tan⁻¹(5/5) = tan⁻¹(1) = 45°. السبب: تساوي المركبتين يعني أن المحصلة تنصف الزاوية القائمة بينهما تمامًا.
6. جسم يُلقى أفقيًا من ارتفاع 80 م بسرعة 20 م/ث. احسب الزمن حتى يصل إلى الأرض. g = 10 م/ث²
h = ½g·t² ← 80 = ½×10×t² ← t² = 16 ← t = 4 ث.
7. جسم أُلقي أفقيًا من قمة جرف. وصل إلى نقطة على الأرض تبعد 60 م أفقيًا، وكانت مدة سقوطه 3 ث. احسب ارتفاع الجرف والسرعة الأفقية الابتدائية. g = 10 م/ث²
h = ½×10×3² = 45 م. v₀ = R/t = 60/3 = 20 م/ث.
8. لماذا لا يؤثر تغيير السرعة الأفقية الابتدائية على زمن وصول المقذوف إلى الأرض (من نفس الارتفاع)؟
لأن الزمن يتحدد فقط بالحركة الرأسية (t = √(2h/g))، والمركبة الأفقية مستقلة تمامًا ولا تؤثر على التسارع الرأسي الذي يساوي دائمًا g.
9. جسم يُلقى أفقيًا من ارتفاع 5 م. ما هو المدى الأفقي الأقصى إذا كانت السرعة الابتدائية 10 م/ث؟ ولماذا لا يوجد زاوية إطلاق هنا؟ g = 10 م/ث²
t = √(2×5/10) = 1 ث. R = 10×1 = 10 م. لا توجد زاوية إطلاق لأن الإطلاق أفقي بالتعريف (زاوية = صفر مع الأفق)، لذا لا وجود لمركبة رأسية ابتدائية.
10. احسب الزاوية التي تصنعها سرعة المقذوف مع الأفق لحظة الارتطام، في مسألة جسم أُلقي أفقيًا بسرعة 20 م/ث من ارتفاع 20 م. g = 10 م/ث²
t = √(2×20/10) = 2 ث. vᵧ = 10×2 = 20 م/ث. الزاوية: θ = tan⁻¹(vᵧ/v₀) = tan⁻¹(20/20) = tan⁻¹(1) = 45° مع الأفق.
11. جسم أُلقي بسرعة 50 م/ث بزاوية 53° مع الأفق. احسب الزمن الكلي للحركة. (sin53°=0.8، g=10 م/ث²)
v₀ᵧ = 50×0.8 = 40 م/ث. T = 2v₀ᵧ/g = 2×40/10 = 8 ث.
12. جسم أُلقي بزاوية 45° بسرعة 20 م/ث. احسب المدى الأفقي. g = 10 م/ث² (sin90°=1)
R = v₀²·sin2θ/g = 20²×sin90°/10 = 400×1/10 = 40 م.
13. قوة مقدارها 50 ن تؤثر على ذراع رافعة طولها 2 م عموديًا. احسب عزم القوة.
τ = F × d = 50 × 2 = 100 ن.م.
14. قوة F تؤثر في خط عمل يمر بمحور الدوران نفسه. ما عزمها؟ علّل.
عزمها يساوي صفرًا. لأن الذراع العمودي d = 0 (خط عمل القوة يمر بالمحور نفسه)، وبالتالي τ = F×0 = 0.
15. قوة مقدارها 60 ن تؤثر على ذراع بزاوية 90° مع الذراع (أي عموديًا). ثم غيّرت زاويتها إلى 30° مع الذراع. احسب نسبة العزمين. (sin30°=0.5)
العزم الأول: τ₁ = F×L·sin90° = F×L. العزم الثاني: τ₂ = F×L·sin30° = 0.5F×L. النسبة: τ₁/τ₂ = 1/0.5 = 2. العزم الأول ضعف الثاني.
16. جسم معلق بحبلين، أحدهما أفقي بشد T₁ والآخر يميل بزاوية 53° مع الأفق. وزن الجسم 40 ن. احسب T₁ وT₂. (sin53°=0.8، cos53°=0.6)
رأسيًا: T₂·sin53° = 40 ← T₂×0.8 = 40 ← T₂ = 50 ن. أفقيًا: T₁ = T₂·cos53° = 50×0.6 = 30 ن.
17. ما الشرط الضروري والكافي لاتزان جسم تحت تأثير قوتين فقط؟
يجب أن تكونا: (1) متساويتين في المقدار، (2) متعاكستين في الاتجاه، (3) في نفس خط العمل. أي شرط من الثلاثة مفقود يُفقد الاتزان.
18. كرسي وزنه 300 ن يقف شخصان يحملانه، أحدهما من الأمام والآخر من الخلف. الشخص الأمامي يشد على بعد 0.5 م من مركز الثقل والخلفي على بعد 1 م. احسب قوة كل منهما.
بمبدأ العزوم حول الشخص الأمامي: F_خلف×1.5 = 300×1 ← F_خلف = 200 ن. F_أمام = 300−200 = 100 ن.
19. جسم في اتزان تحت تأثير ثلاث قوى. إذا كانت قوتان عموديتان 40 ن لأعلى و70 ن لأسفل، ما القوة الثالثة لتحقيق الاتزان؟
Σ Fᵧ = 0 ← 40−70+F₃ = 0 ← F₃ = 30 ن لأعلى.
20. جسم وزنه W معلق بثلاثة حبال: أفقي شده T₁، رأسي شده T₂، ومائل بزاوية 45° شده T₃. اكتب معادلتي الاتزان. (sin45°=cos45°=0.707)
أفقيًا: T₁ = T₃·cos45° = 0.707T₃. رأسيًا: T₂ + T₃·sin45° = W ← T₂ + 0.707T₃ = W.
21. محرك يدير مضخة. القدرة الواردة 10 kW، كفاءة المحرك 90% وكفاءة المضخة 80%. ما القدرة المفيدة للمضخة؟
P_مفيدة = 10 × 0.9 × 0.8 = 7.2 kW.
22. لماذا لا تبلغ كفاءة أي آلة حقيقية 100%؟ وأين تذهب الطاقة الضائعة؟
لأن الاحتكاك بين أجزاء الآلة، ومقاومة الهواء، والضوضاء تستهلك جزءًا من الطاقة المُدخلة وتحوّلها إلى حرارة وأشكال أخرى من الطاقة غير القابلة للاستخدام في المهمة المطلوبة.
23. قوة مقدارها 30 ن تؤثر على جسم لمدة 4 ث. احسب دفع هذه القوة.
J = F·Δt = 30×4 = 120 ن·ث.
24. كرة كتلتها 0.5 كجم تتحرك بسرعة 10 م/ث فتصطدم بحائط وترتد بسرعة 8 م/ث. احسب التغير في كمية التحرك (باتجاه الحركة الأصلية موجبًا).
Δp = m(v₂−v₁) = 0.5×(−8−10) = 0.5×(−18) = −9 كجم·م/ث. السالب يعني أن التغيير عكس الاتجاه الأصلي.
25. إذا كانت كرة القدم السابقة تلامست مع الحائط لمدة 0.05 ث، احسب متوسط القوة التي أثّر بها الحائط عليها.
F = |Δp|/Δt = 9/0.05 = 180 ن.
26. ما وحدة كمية التحرك؟ أثبت أنها مكافئة لوحدة الدفع.
كمية التحرك: كجم·م/ث. الدفع: ن·ث = كجم·م/ث²·ث = كجم·م/ث. الوحدتان متكافئتان ✓، وهذا يعكس أن الدفع يساوي التغيير في كمية التحرك.
27. مقذوف كتلته 0.1 كجم يتحرك بسرعة 200 م/ث. يدخل جسمًا ساكنًا ويتوقف خلال 0.002 ث. احسب القوة المتوسطة التي تعرّض لها المقذوف والجسم.
Δp = 0.1×(0−200) = −20 كجم·م/ث. F = 20/0.002 = 10,000 ن. بالنسبة للجسم، القوة نفسها ولكن في الاتجاه المعاكس (القانون الثالث لنيوتن).
28. رصاصة كتلتها 0.01 كجم تتحرك بسرعة 400 م/ث تخترق جسمًا ساكنًا كتلته 2 كجم فتعلق فيه. احسب سرعة الجسم بعد الاختراق.
0.01×400 = (0.01+2)v’ ← 4 = 2.01v’ ← v’ ≈ 1.99 م/ث.
29. جسمان كتلة كل منهما 3 كجم يتجهان نحو بعضهما؛ الأول بسرعة 5 م/ث شرقًا والثاني 3 م/ث غربًا. بعد الاصطدام التام (يلتصقان). احسب سرعة المنظومة واتجاهها.
3×5 + 3×(−3) = 6v’ ← 15−9 = 6v’ ← v’ = 1 م/ث شرقًا.
30. في التصادم الغير مرن التام للسؤال السابق، احسب الطاقة الحركية الضائعة.
طاقة قبل: ½×2×9 + ½×1×36 = 9+18 = 27 J. طاقة بعد: 0 J. الطاقة الضائعة = 27 J.
31. كرة بلياردو كتلتها 0.2 كجم تتحرك بسرعة 4 م/ث تصطدم بكرة مماثلة ساكنة. بعد الاصطدام الأولى بسرعة 1 م/ث وبنفس الاتجاه. احسب سرعة الثانية بعد الاصطدام.
0.2×4 = 0.2×1 + 0.2×v₂’ ← 0.8 = 0.2+0.2v₂’ ← 0.2v₂’ = 0.6 ← v₂’ = 3 م/ث.
32. شخص كتلته 70 كجم يقفز من زورق كتلته 200 كجم بسرعة أفقية 3 م/ث. ما سرعة ارتداد الزورق (يبدأ المنظومة من السكون)؟
0 = 70×3 + 200×v ← 200v = −210 ← v = −1.05 م/ث أي 1.05 م/ث عكس اتجاه القفز.
33. لماذا تبقى كمية تحرك المنظومة ثابتة في غياب القوى الخارجية؟ ما القانون الأساسي الذي يقوم عليه هذا؟
لأن القانون الثالث لنيوتن يضمن أن القوى الداخلية بين أجسام المنظومة متساوية ومتعاكسة، فمجموع دفعاتها صفر. وبالتالي لا يتغير مجموع كميات التحرك. الأساس: قانون نيوتن الثالث ومفهوم الدفع-كمية التحرك.
34. جسم كتلته 2 كجم كمية تحركه 12 كجم·م/ث. احسب طاقته الحركية.
KE = p²/(2m) = 12²/(2×2) = 144/4 = 36 J.
35. إذا تضاعفت كمية تحرك جسم، بكم تتغير طاقته الحركية؟
KE = p²/(2m). إذا تضاعف p يصبح 2p، فـKE_جديدة = (2p)²/(2m) = 4p²/(2m) = 4·KE. تتضاعف الطاقة الحركية 4 مرات.
36. كرتان: الأولى كتلتها 3 كجم وسرعتها 4 م/ث، والثانية كتلتها 6 كجم وسرعتها 2 م/ث. قارن كميتي تحركهما وطاقتيهما الحركية.
p₁ = 12 كجم·م/ث، p₂ = 12 كجم·م/ث (متساويتان). KE₁ = ½×3×16 = 24 J، KE₂ = ½×6×4 = 12 J. الطاقة الحركية للأولى ضعف الثانية رغم تساوي كميتي التحرك.
37. جسمان متساويا الكتلة m يتحرك أحدهما بسرعة v₀ ويصطدم بالآخر الساكن تصادمًا مرنًا تامًا. ما سرعة كل منهما بعد الاصطدام؟
في التصادم المرن التام بين كتلتين متساويتين: الجسم الأول يتوقف تمامًا (v₁’ = 0) والثاني ينطلق بسرعة الأول (v₂’ = v₀).
38. جسم كتلته 1 كجم طاقته الحركية 8 J. جسم آخر كتلته 4 كجم طاقته الحركية 8 J. أيهما أكبر كمية تحركًا؟
p₁ = √(2×1×8) = 4 كجم·م/ث. p₂ = √(2×4×8) = 8 كجم·م/ث. الجسم الثاني (الأكبر كتلةً) أكبر كمية تحركًا رغم تساوي طاقتيهما الحركية.
39. جسم يتحرك بسرعة 6 م/ث في دائرة نصف قطرها 3 م. احسب تسارعه المركزي.
aₓ = v²/r = 36/3 = 12 م/ث².
40. قمر اصطناعي يدور حول الأرض في مدار دائري نصف قطره R بسرعة v. ما القوة التي تمدّه بالتسارع المركزي؟
قوة الجاذبية الأرضية تمدّه بالقوة المركزية اللازمة للبقاء في المدار الدائري. Fc = mv²/R = GMm/R².
41. سيارة تسير على طريق مستقيم بسرعة 20 م/ث ثم تدخل في منحنى دائري نصف قطره 100 م بنفس السرعة. ما الاحتكاك اللازم؟ كتلة السيارة 800 كجم. g = 10 م/ث²
Fc = mv²/r = 800×400/100 = 3200 ن. معامل الاحتكاك: μ = Fc/(mg) = 3200/8000 = 0.4.
42. سيارة كتلتها 1200 كجم تسلك منعطفًا دائريًا أفقيًا نصف قطره 60 م. أقصى قوة احتكاك 6000 ن. ما أقصى سرعة بأمان؟
Fc = mv²/r ← 6000 = 1200×v²/60 ← v² = 6000×60/1200 = 300 ← v = √300 ≈ 17.3 م/ث.
43. ما السرعة الدنيا اللازمة لجسم كتلته 2 كجم ليُكمل دائرة رأسية نصف قطرها 2.5 م دون أن ينفصل الخيط في أعلى الدائرة؟ g = 10 م/ث²
عند N = 0: v_min = √(gr) = √(10×2.5) = √25 = 5 م/ث.
44. لماذا يشعر راكب سيارة بانزياح نحو الخارج عند الدوران في منعطف؟
ما يشعر به ليس قوة حقيقية، بل هي خاصية القصور الذاتي — الجسم يميل للاستمرار في حركته المستقيمة. السيارة تلتف للداخل بينما الجسم يريد الاستمرار للأمام، فيُحس الراكب كأنه يُدفع للخارج.
45. جسمان كتلتاهما 1000 كجم و500 كجم تفصلهما مسافة 2 م. احسب قوة الجاذبية بينهما. G = 6.67×10⁻¹¹
F = G·m₁m₂/r² = (6.67×10⁻¹¹×1000×500)/4 = (3.335×10⁻⁵)/4 ≈ 8.34×10⁻⁶ ن.
46. إذا تضاعفت المسافة بين جسمين، كيف تتغير قوة الجاذبية بينهما؟
F = Gm₁m₂/r². إذا صار r → 2r: F_جديد = Gm₁m₂/(2r)² = F/4. تقل الجاذبية إلى ربعها.
47. صياغ قانون كبلر الثالث: إذا كان الكوكب A يبعد عن الشمس 2 وحدة فلكية والكوكب B يبعد 4 وحدات. ما نسبة فترتي دورانهما؟
T²/r³ = ثابت ← T²_A/T²_B = r³_A/r³_B = 8/64 = 1/8 ← T_A/T_B = 1/√8 = 1/(2√2). أو T_B = T_A×2√2 ≈ 2.83 T_A.
48. ما السرعة المدارية لقمر اصطناعي يدور على ارتفاع 400 كم فوق سطح الأرض؟ كتلة الأرض 6×10²⁴ كجم، نصف قطر الأرض 6400 كم. G = 6.67×10⁻¹¹
r = (6400+400)×10³ = 6.8×10⁶ م. v = √(6.67×10⁻¹¹×6×10²⁴/(6.8×10⁶)) = √(4×10⁰⁷/6.8) = √(5.88×10⁶) ≈ 7660 م/ث ≈ 7.66 كم/ث.
49. لماذا يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عند اقترابه من الشمس (قانون كبلر الثاني)؟
لأن قانون كبلر الثاني يقول إن الخط الواصل يجتاح مساحات متساوية في أزمنة متساوية. عند الاقتراب من الشمس (r أصغر) يجب أن تكون المسافة المقطوعة أطول في نفس الزمن ليتساوى المثلث المساحة، إذن السرعة أكبر.
50. قمر اصطناعي يدور حول الأرض بفترة 2 ساعة. قمر آخر يدور بفترة 16 ساعة. ما نسبة بُعدي مداريهما؟
T₁²/T₂² = r₁³/r₂³ ← r₁³/r₂³ = 4/256 = 1/64 ← r₁/r₂ = (1/64)^(1/3) = 1/4. مدار القمر الأول ربع مدار الثاني.