أسئلة تدريبية
1. احسب المسافة بين النقطة (0،0،0) والنقطة (3،4،12).
عرض الإجابة
المسافة = √(3²+4²+12²) = √(9+16+144) = √169 = 13.
2. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(0،0،0) و ب(3،6،9).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (3،6،9).
3. احسب المسافة بين النقطتين (-1،-1،-1) و(2،3,-1).
عرض الإجابة
المسافة = √((2-(-1))²+(3-(-1))²+(-1-(-1))²) = √(9+16+0) = 5.
4. من معادلة المستوى 3س + 2ص – ع + 5 = 0، ما مركبات المتجه الناظمي؟
عرض الإجابة
(3، 2، -1).
5. إذا كان |أ|=5، |ب|=2، والزاوية بينهما 0° (متوازيان)، احسب |أ×ب|.
عرض الإجابة
|أ×ب| = 5×2×جا0° = 5×2×0 = 0 (متوقع، لأن المتجهين المتوازيين لهما ضرب اتجاهي بطول صفر).
6. هل النقطة (2،3،-4) تقع على المستوى 2س – ص + ع + 5 = 0؟ (تحقق بالتعويض)
عرض الإجابة
2(2)-3+(-4)+5 = 4-3-4+5 = 2 ≠ 0، إذن النقطة لا تقع على المستوى.
7. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (0،0،5) وله متجه ناظمي (0،0،1).
عرض الإجابة
0(س-0)+0(ص-0)+1(ع-5)=0، أي ع=5.
8. اكتب الصورة البارامترية لمعادلة مستقيم يمر بالنقطة (1،2،3) ومتجه اتجاهه (2،1،-1).
عرض الإجابة
س=1+2ك، ص=2+ك، ع=3-ك.
9. اكتب المتجه الناظمي للمستوى س – 4ص + 2ع = 7.
عرض الإجابة
(1، -4، 2).
10. احسب الضرب القياسي بين أ=(1،2،3) و ب=(4،-1،2) (بخلاف أي مثال في الشرح).
عرض الإجابة
أ·ب = (1×4)+(2×-1)+(3×2) = 4-2+6 = 8.
11. اكتب معادلة المستوى الذي متجهه الناظمي (0،1،0) ويمر بالنقطة (3،7،2).
عرض الإجابة
0(س-3)+1(ص-7)+0(ع-2)=0، أي ص=7.
12. في أي ثمانية تقع النقطة (-2،3،-4) (بحسب إشارات الإحداثيات)؟
عرض الإجابة
الثمانية التي فيها س سالب، ص موجب، ع سالب.
13. هل النقطة (3،-2،5) تقع في مستوى سص؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن شرط الوقوع في مستوى سص هو ع=0، وهنا ع=5≠0.
14. من معادلة المستوى -س + 3ص – 2ع – 6 = 0، اكتب المتجه الناظمي.
عرض الإجابة
(-1، 3، -2).
15. احسب الضرب القياسي بين أ=(2،2،1) و ب=(1،-1،0).
عرض الإجابة
أ·ب = (2×1)+(2×-1)+(1×0) = 2-2+0 = 0 (متعامدان).
16. مستقيمان بمتجهي اتجاه (3،0،0) و (0،5،0). هل هما متعامدان، متوازيان، أم متخالفان (بافتراض عدم تقاطعهما)؟
عرض الإجابة
الضرب القياسي = 0، إذن متعامدان (وإذا لم يتقاطعا فعليًا رغم التعامد الاتجاهي، فقد يكونان متخالفين متعامدي الاتجاه، لكن التعامد في الاتجاه محقق هنا رياضيًا).
17. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،0،0) و ن₂=(1،0،0) (نفس المتجه).
عرض الإجابة
جتا θ = (1)/(1×1) = 1، إذن θ=0° (المستويان متوازيان أو متطابقان في الاتجاه).
18. هل النقطة (0،0،0) تقع على المستوى س+ص+ع-1=0؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن 0+0+0-1 = -1 ≠ 0.
19. ما إحداثيات نقطة تقع على المحور س نفسه (ليس فقط في مستوى)، على بعد 5 وحدات من الأصل في الاتجاه الموجب؟
عرض الإجابة
(5،0،0).
20. هل المستقيم بمتجه اتجاه (2،2،2) موازٍ للمستقيم بمتجه اتجاه (1،1،1)؟
عرض الإجابة
نعم، لأن (2،2،2) = 2×(1،1،1).
21. احسب طول الضرب الاتجاهي |أ × ب| إذا علمت أن |أ|=3، |ب|=4، والزاوية بينهما 90°.
عرض الإجابة
|أ×ب| = |أ||ب|جا90° = 3×4×1 = 12.
22. في مستقيم صورته المتماثلة (س-4)/3 = (ص+2)/5 = ع/1، ما إحداثيات النقطة التي يمر بها المستقيم، وما متجه اتجاهه؟
عرض الإجابة
النقطة (4،-2،0)، ومتجه الاتجاه (3،5،1).
23. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،0،0) و ن₂=(0،1،0).
عرض الإجابة
جتا θ = (ن₁·ن₂)/(|ن₁||ن₂|) = 0/(1×1) = 0، إذن θ=90° (المستويان متعامدان).
24. في أي ثمانية تقع النقطة (1،1،1)؟
عرض الإجابة
الثمانية التي فيها جميع الإحداثيات موجبة (الثمانية الأولى).
25. مستوى متجهه الناظمي (4،0،0)، ومستقيم متجه اتجاهه (0،3،5). هل المستقيم موازٍ للمستوى؟
عرض الإجابة
نعم: الضرب القياسي = (4×0)+(0×3)+(0×5) = 0، فمتجه اتجاه المستقيم عمودي على الناظمي، مما يعني أن المستقيم موازٍ للمستوى.
26. احسب |أ×ب| إذا كان |أ|=6، |ب|=6، والزاوية بينهما 30°.
عرض الإجابة
|أ×ب| = 6×6×جا30° = 36×0.5 = 18.
27. هل المتجهان أ=(1،0،0) و ب=(0،1،0) متعامدان؟ تحقق بحساب الضرب القياسي.
عرض الإجابة
أ·ب = (1×0)+(0×1)+(0×0) = 0، إذن نعم متعامدان (الضرب القياسي = صفر).
28. إذا كان الضرب القياسي بين متجهين يساوي -6، هل هذا يعني أنهما متعامدان؟
عرض الإجابة
لا، الضرب القياسي يساوي صفرًا فقط عند التعامد؛ قيمة -6 (غير صفرية) تعني أنهما غير متعامدين.
29. هل النقطة (5،0،0) تقع على المحور س، أم في مستوى سص فقط؟
عرض الإجابة
تقع على المحور س نفسه (تحقق شرطي ص=0 وع=0 معًا، وهو شرط أقوى من مجرد الوقوع في مستوى سص الذي يتطلب ع=0 فقط).
30. باستخدام متجه الاتجاه من السؤال السابق والنقطة أ، اكتب الصورة المتماثلة للمستقيم.
عرض الإجابة
(س-2)/3 = (ص-0)/3 = (ع-(-1))/0 – لاحظ أن هذه الحالة تتطلب صيغة خاصة لأن أحد المركبات صفر، لكن الصورة البارامترية تبقى صالحة: س=2+3ك، ص=3ك، ع=-1.
31. عند ك=2 في الصورة البارامترية س=1+2ك، ص=2+ك، ع=3-ك، ما إحداثيات النقطة الناتجة؟
عرض الإجابة
(1+4، 2+2، 3-2) = (5، 4، 1).
32. احسب الضرب القياسي بين أ=(1،1،1) و ب=(1،1،1) (متجه مع نفسه).
عرض الإجابة
أ·أ = 1+1+1 = 3.
33. هل المستقيمان بمتجهي اتجاه (1،0،0) و (0،1،0) متعامدان؟ تحقق بالضرب القياسي.
عرض الإجابة
نعم: الضرب القياسي = (1×0)+(0×1)+(0×0) = 0، إذن متعامدان.
34. احسب الضرب القياسي بين أ=(5،-2،1) و ب=(0،0،3).
عرض الإجابة
أ·ب = (5×0)+(-2×0)+(1×3) = 0+0+3 = 3.
35. هل النقطة (3،3,2) تقع على المستقيم (س-1)/2 = (ص-2)/1 = (ع-3)/(-1)؟ (تحقق بالتعويض)
عرض الإجابة
نعم: (3-1)/2=1، (3-2)/1=1، (2-3)/(-1)=1 – جميع النسب متساوية (=1)، فالنقطة تقع على المستقيم.
36. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (-1،2،0) وله متجه ناظمي (1،1,1).
عرض الإجابة
1(س+1)+1(ص-2)+1(ع-0)=0، وبالتبسيط: س+ص+ع-1=0.
37. أوجد متجهين واقعين في مستوى يمر بالنقاط أ(0،0،0)، ب(1،0،0)، جـ(0،1،0).
عرض الإجابة
المتجه الأول أب=(1،0،0)، والمتجه الثاني أجـ=(0،1،0).
38. مستوى متجهه الناظمي (1،2،3)، ومستقيم متجه اتجاهه (1،2،3) أيضًا (نفس المتجه). ما العلاقة بين المستقيم والمستوى؟
عرض الإجابة
المستقيم عمودي على المستوى، لأن متجه اتجاهه يطابق تمامًا المتجه الناظمي للمستوى.
39. اكتب الصورة البارامترية لمستقيم يمر بالنقطة (0،0،0) ومتجه اتجاهه (1،1،1).
عرض الإجابة
س=ك، ص=ك، ع=ك.
40. احسب جتا الزاوية بين مستويين متجهاهما الناظميان ن₁=(1،1،0) و ن₂=(1،-1،0).
عرض الإجابة
ن₁·ن₂ = 1-1+0 = 0؛ إذن جتا θ = 0، والزاوية = 90° (متعامدان).
41. مستقيم متجه اتجاهه (2،-1،3)، ومستوى متجهه الناظمي (2،-1،3) أيضًا. ما العلاقة بين المستقيم والمستوى؟
عرض الإجابة
المستقيم عمودي على المستوى (لأن متجه اتجاه المستقيم يوازي المتجه الناظمي للمستوى – نفس المتجه هنا تمامًا).
42. مستقيم متجه اتجاهه (1،2،0)، ومستوى متجهه الناظمي (0،0،5). هل المستقيم موازٍ للمستوى؟ تحقق بالضرب القياسي.
عرض الإجابة
الضرب القياسي = (1×0)+(2×0)+(0×5) = 0، إذن نعم المستقيم موازٍ للمستوى (متجه اتجاهه عمودي على الناظمي).
43. هل النقطة (1،3,7) تقع على المستقيم س=ك، ص=ك، ع=ك؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
لا، لأن هذا يتطلب س=ص=ع لكل نقطة على المستقيم، والنقطة (1،3،7) لا تحقق هذا الشرط (1≠3≠7).
44. اكتب معادلة المستوى المار بالنقطة (1،2،3) وله متجه ناظمي (2،-1،1).
عرض الإجابة
2(س-1) – 1(ص-2) + 1(ع-3) = 0، وبالتبسيط: 2س – ص + ع – 3 = 0.
45. باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهين من السؤال السابق، أوجد المتجه الناظمي للمستوى المار بالنقاط الثلاث.
عرض الإجابة
الضرب الاتجاهي لـ(1،0،0)×(0،1،0) = (0،0،1) – وهذا المتجه الناظمي يعني أن المستوى هو ع=0 (مستوى سص).
46. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(1،1،1) و ب(1،1،5).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (0،0،4).
47. احسب المسافة بين النقطتين (1،1،1) و(4،5،1) (بخلاف مثال الشرح).
عرض الإجابة
المسافة = √((4-1)²+(5-1)²+(1-1)²) = √(9+16+0) = √25 = 5.
48. هل النقطة (0،4،-1) تقع في مستوى صع؟ ولماذا؟
عرض الإجابة
نعم، لأن شرط الوقوع في مستوى صع هو س=0، وهنا س=0 بالفعل.
49. احسب المسافة بين النقطتين (2،2،1) و(5،6،1) (لاحظ تساوي إحداثي ع).
عرض الإجابة
المسافة = √((5-2)²+(6-2)²+(1-1)²) = √(9+16+0) = 5.
50. أوجد متجه الاتجاه لمستقيم يمر بالنقطتين أ(2،0،-1) و ب(5،3،-1).
عرض الإجابة
متجه الاتجاه = ب-أ = (3،3،0).