أسئلة تدريبية
1. قوة مقدارها 30 نيوتن تصنع زاوية 0° (في نفس اتجاه الحركة تمامًا) مع جسم يتحرك مسافة 3 أمتار. احسب الشغل.
عرض الإجابة
الشغل = 30×3×جتا0° = 30×3×1 = 90 جول.
2. محرك قدرته الثابتة 1000 واط يحرك جسمًا بقوة 250 نيوتن. احسب سرعة الجسم الناتجة (بإعادة ترتيب صيغة القدرة).
عرض الإجابة
من قدرة=قوة×سرعة: السرعة = القدرة/القوة = 1000/250 = 4 م/ث.
3. لجسم سرعته ع=4ن+1، وموضعه الابتدائي 2 (وليس صفرًا). أوجد صيغة الإزاحة س.
عرض الإجابة
س = ∫(4ن+1) دن = 2ن²+ن+ث’؛ بالشرط (ن=0،س=2): ث’=2؛ إذن س=2ن²+ن+2.
4. جسم سرعته معطاة بالصيغة ع=3ن²، وموضعه الابتدائي صفر. أوجد صيغة الإزاحة س.
عرض الإجابة
س = ∫3ن² دن = ن³+ث؛ بالشرط (ن=0،س=0): ث=0؛ إذن س=ن³.
5. جسم كتلته 2 كجم تتغير سرعته من 3 م/ث إلى 8 م/ث نتيجة قوة مؤثرة. احسب التغير في كمية التحرك (نبضة القوة).
عرض الإجابة
التغير = ك ع₂ – ك ع₁ = 2×8 – 2×3 = 16-6 = 10 كجم.م/ث.
6. جسم كتلته 3 كجم، سرعته الابتدائية 5 م/ث وسرعته النهائية 1 م/ث (تباطؤ) بعد بذل شغل عليه. احسب هذا الشغل.
عرض الإجابة
الشغل = (1/2)(3)(1) – (1/2)(3)(25) = 1.5 – 37.5 = -36 جول (سالب، لأن السرعة تناقصت).
7. جسمان كتلتاهما 7 كجم و1 كجم (فرق كبير جدًا بين الكتلتين)، متصلان بخيط عبر بكرة. احسب التعجيل المشترك، ولاحظ قربه من قيمة جـ.
عرض الإجابة
ل = (7-1)×10/(7+1) = 60/8 = 7.5 م/ث² (قريب نسبيًا من جـ=10، لأن الفرق الكبير بين الكتلتين يجعل النظام أقرب لسقوط حر).
8. سيارة تتحرك بسرعة ثابتة 25 م/ث تحت تأثير قوة محرك 600 نيوتن (تعادل قوى المقاومة عند هذه السرعة). احسب القدرة المبذولة.
عرض الإجابة
القدرة = 600×25 = 15000 واط.
9. شخص يرفع وزنًا مقداره 200 نيوتن مسافة رأسية 3 أمتار خلال 2 ثانية. احسب القدرة المبذولة (استخدم الشغل=قوة×مسافة أولًا).
عرض الإجابة
الشغل = 200×3=600 جول؛ القدرة = 600/2 = 300 واط.
10. جسم كتلته 1 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=2س نيوتن. احسب ل بدلالة س، ثم أوجد العلاقة بين ع وس بافتراض ع=2 عند س=0.
عرض الإجابة
ل=2س (من نيوتن الثاني، الكتلة=1)؛ ع دع=2س دس؛ ع²/2=س²+ث؛ بالشرط (ع=2عندس=0): 4/2=0+ث، ث=2؛ إذن ع²=4س²+4.
11. جسم كتلته 4 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ثابتة (لا تعتمد على الموضع أو الزمن) مقدارها 20 نيوتن. احسب التعجيل مباشرة.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 4ل=20، فل=5 م/ث² (تعجيل ثابت، لا حاجة للحيلة الجبرية هنا لأن القوة ثابتة).
12. محرك يبذل شغلًا مقداره 500 جول خلال 10 ثوانٍ. احسب القدرة المتوسطة.
عرض الإجابة
القدرة المتوسطة = الشغل÷الزمن = 500/10 = 50 واط.
13. جسمان متساويان في الكتلة (كل منهما 5 كجم)، الأول بسرعة 6 م/ث والثاني بسرعة 2 م/ث في نفس الاتجاه، يتصادمان ويلتصقان معًا. احسب السرعة المشتركة بعد التصادم.
عرض الإجابة
كمية التحرك قبل = 5×6+5×2 = 30+10=40؛ بعد الالتصاق: 40=(5+5)×ع؛ ع=40/10=4 م/ث.
14. جسمان يتصادمان: الأول كتلته 4 كجم بسرعة 6 م/ث، والثاني كتلته 4 كجم بسرعة -2 م/ث (يتحرك في الاتجاه المعاكس). احسب كمية التحرك الكلية قبل التصادم.
عرض الإجابة
كمية التحرك الكلية = (4×6) + (4×(-2)) = 24 – 8 = 16 كجم.م/ث.
15. جسم يتحرك بتعجيل ل=8ن، وسرعته الابتدائية 1 م/ث. أوجد السرعة عند ن=1 ثانية.
عرض الإجابة
ع = ∫8ن دن = 4ن²+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=1): ث=1؛ إذن ع=4ن²+1؛ عند ن=1: ع=5 م/ث.
16. جسم كتلته 5 كجم، سرعته الابتدائية 10 م/ث، تتوقف تمامًا (سرعته النهائية صفر) خلال فترة زمنية قصيرة بسبب تصادم. احسب نبضة القوة المؤثرة.
عرض الإجابة
نبضة القوة = ك ع₂ – ك ع₁ = 5×0 – 5×10 = -50 كجم.م/ث (سالبة، تشير لقوة معاكسة لاتجاه الحركة الأصلي).
17. جسم كتلته 5 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=10س نيوتن. احسب التعجيل ل بدلالة س.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 5ل=10س، فل=2س.
18. جسمان كتلتاهما 6 كجم و4 كجم، متصلان بخيط عبر بكرة (جـ=10م/ث²). احسب التعجيل المشترك.
عرض الإجابة
ل = (6-4)×10/(6+4) = 20/10 = 2 م/ث².
19. لماذا تُعد صيغة ق = د(كع)/دن أكثر عمومية من الصيغة المعتادة ق = ك ل؟
عرض الإجابة
لأنها تشمل حتى حالات الكتلة المتغيرة (كصاروخ يفقد كتلته)، بينما ق=كل تفترض ثبات الكتلة.
20. قوة مقدارها 200 نيوتن تحرك جسمًا بسرعة ثابتة 8 م/ث. احسب القدرة اللحظية.
عرض الإجابة
القدرة = 200×8 = 1600 واط.
21. لجسم تعجيله ل=6ن (كما في مثال الشرح)، لكن سرعته الابتدائية هذه المرة تساوي 5 (بدلًا من 2)، أوجد صيغة السرعة.
عرض الإجابة
ع = ∫6ن دن = 3ن²+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=5): ث=5؛ إذن ع=3ن²+5.
22. جسم كتلته 1 كجم يسقط سقوطًا حرًا من ارتفاع 20 مترًا (خذ جـ=10م/ث²). احسب سرعته عند منتصف المسافة (ارتفاع 10 أمتار) باستخدام حفظ الطاقة.
عرض الإجابة
عند الارتفاع الأصلي (20م): الطاقة الكلية = ك جـ هـ = 1×10×20=200 جول (طاقة حركة ابتدائية=صفر)؛ عند ارتفاع 10م: طاقة الوضع المتبقية=1×10×10=100 جول؛ طاقة الحركة=200-100=100 جول؛ (1/2)(1)ع²=100؛ ع²=200؛ ع=√200≈14.14 م/ث.
23. قوة مقدارها 20 نيوتن تحرك جسمًا مسافة 5 أمتار في اتجاه القوة نفسه (بخلاف أي مثال آخر). احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = ق×إز = 20×5 = 100 جول.
24. محرك رافعة يبذل شغلًا مقداره 3000 جول خلال 5 ثوانٍ لرفع حمل. احسب القدرة المتوسطة للمحرك.
عرض الإجابة
القدرة = 3000/5 = 600 واط.
25. محرك يبذل قدرة ثابتة مقدارها 2000 واط على جسم يتحرك بسرعة 4 م/ث. احسب القوة المؤثرة (بإعادة ترتيب صيغة القدرة).
عرض الإجابة
من قدرة=قوة×سرعة: القوة = القدرة/السرعة = 2000/4 = 500 نيوتن.
26. جسم يتحرك بتعجيل ل=4ن (بخلاف مثال الشرح ل=6ن)، وسرعته الابتدائية (عند ن=0) تساوي 3 م/ث. أوجد السرعة ع بدلالة الزمن.
عرض الإجابة
ع = ∫4ن دن = 2ن² + ث؛ بالشرط الابتدائي (ن=0،ع=3): ث=3؛ إذن ع=2ن²+3.
27. جسم يتحرك بتعجيل ثابت ل=10 م/ث²، وسرعته الابتدائية 2 م/ث. أوجد السرعة عند ن=3 ثوانٍ.
عرض الإجابة
ع = ∫10 دن = 10ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=2): ث=2؛ إذن ع=10ن+2؛ عند ن=3: ع=32 م/ث.
28. جسم كتلته 4 كجم، سرعته الابتدائية 2 م/ث وسرعته النهائية 6 م/ث بعد بذل شغل عليه. احسب هذا الشغل باستخدام نظرية الشغل والطاقة.
عرض الإجابة
الشغل = (1/2)ك ع₂² – (1/2)ك ع₁² = (1/2)(4)(36) – (1/2)(4)(4) = 72-8 = 64 جول.
29. جسم كتلته 8 كجم يتحرك بسرعة 3 م/ث. احسب دفعه.
عرض الإجابة
الدفع = 8×3 = 24 كجم.م/ث.
30. جسم كتلته 2 كجم يتحرك تحت تأثير قوة ق=8س نيوتن. احسب ل بدلالة س.
عرض الإجابة
من نيوتن الثاني: 2ل=8س، فل=4س.
31. جسمان يتصادمان ويلتصقان معًا: الأول كتلته 6 كجم بسرعة 4 م/ث، والثاني كتلته 3 كجم ساكن. احسب السرعة المشتركة بعد التصادم بتطبيق حفظ كمية التحرك.
عرض الإجابة
كمية التحرك قبل = 6×4+3×0 = 24؛ بعد الالتصاق: 24=(6+3)×ع؛ ع=24/9 ≈ 2.67 م/ث.
32. جسم كتلته 2 كجم يتحرك بسرعة 5 م/ث. احسب طاقة حركته.
عرض الإجابة
طاقة الحركة = (1/2)ك ع² = (1/2)×2×25 = 25 جول.
33. قوة مقدارها 15 نيوتن تصنع زاوية 60° مع اتجاه حركة جسم يتحرك مسافة 4 أمتار (خذ جتا60°=0.5). احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = ق×إز×جتا60° = 15×4×0.5 = 30 جول.
34. سيارة تتحرك بسرعة ثابتة 15 م/ث (بخلاف مثال الشرح 20 م/ث) تحت تأثير قوة محرك 400 نيوتن. احسب القدرة المبذولة.
عرض الإجابة
القدرة = ق×ع = 400×15 = 6000 واط.
35. جسم يتحرك بتعجيل ثابت ل=5 م/ث² (وليس دالة في الزمن)، وسرعته الابتدائية صفر. أوجد السرعة ع عند ن=4 ثوانٍ.
عرض الإجابة
ع = ∫5 دن = 5ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع=5ن؛ عند ن=4: ع=20 م/ث.
36. جسم كتلته 6 كجم، سرعته تتغير من 4 م/ث إلى 10 م/ث خلال 2 ثانية بفعل قوة ثابتة. احسب نبضة القوة، ثم احسب مقدار القوة نفسها (بافتراض نبضة القوة=قوة×زمن).
عرض الإجابة
نبضة القوة = 6×10 – 6×4 = 60-24 = 36 كجم.م/ث؛ القوة = نبضة القوة÷الزمن = 36/2 = 18 نيوتن.
37. دراجة نارية تتحرك بسرعة ثابتة 12 م/ث تحت تأثير قوة محرك 150 نيوتن. احسب القدرة المبذولة.
عرض الإجابة
القدرة = 150×12 = 1800 واط.
38. في أي حالات تكون العلاقة بين نبضة القوة والتغير في كمية التحرك مفيدة بشكل خاص، بدلًا من قياس القوة مباشرة؟
عرض الإجابة
في التصادمات، حيث تكون القوة كبيرة جدًا لكن لفترة زمنية قصيرة جدًا يصعب قياسها مباشرة، لكن يمكن قياس تغير السرعة الناتج.
39. ما الفرضية الأساسية التي تجعل تعجيل الجسمين متساويًا في المقدار رغم اختلاف اتجاه حركة كل منهما (أحدهما لأعلى والآخر لأسفل)؟
عرض الإجابة
فرضية أن الخيط غير قابل للتمدد، مما يربط حركة الجسمين بنفس المقدار دائمًا، رغم اختلاف اتجاهيهما.
40. قوة مقدارها 25 نيوتن تصنع زاوية 90° (عمودية تمامًا) مع اتجاه حركة جسم. احسب الشغل المبذول.
عرض الإجابة
الشغل = 25×إز×جتا90° = 25×إز×0 = صفر (لا يوجد شغل عندما تكون القوة عمودية تمامًا على اتجاه الحركة).
41. متى تحديدًا نحتاج لاستخدام الحيلة الجبرية ل=ع(دع/دس) بدلًا من التكامل المباشر بالنسبة للزمن؟
عرض الإجابة
عندما تكون القوة (والتعجيل الناتج) دالة في الموضع س، لا في الزمن مباشرة، مما يصعّب التكامل المباشر بالنسبة للزمن.
42. لجسم تعجيله ل=2 (ثابت)، وسرعته الابتدائية 6 م/ث، وموضعه الابتدائي صفر. أوجد صيغتي السرعة والإزاحة معًا.
عرض الإجابة
ع = ∫2 دن = 2ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=6): ث=6؛ إذن ع=2ن+6؛ س = ∫(2ن+6) دن = ن²+6ن+ث’؛ بالشرط (ن=0،س=0): ث’=0؛ إذن س=ن²+6ن.
43. جسم كتلته 5 كجم يسقط من ارتفاع 8 أمتار (خذ جـ=10م/ث²). باستخدام مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية، احسب سرعته عند الوصول لسطح الأرض (بافتراض بدء السقوط من السكون).
عرض الإجابة
طاقة الوضع الابتدائية = طاقة الحركة النهائية؛ ك جـ هـ = (1/2)ك ع²؛ 10×8 = (1/2)ع²؛ ع²=160؛ ع=√160 ≈ 12.65 م/ث.
44. جسم كتلته 2 كجم يقع على ارتفاع 5 أمتار، وله أيضًا سرعة 3 م/ث في تلك اللحظة (خذ جـ=10م/ث²). احسب الطاقة الميكانيكية الكلية (مجموع طاقتي الحركة والوضع).
عرض الإجابة
طاقة الحركة = (1/2)(2)(9)=9 جول؛ طاقة الوضع = 2×10×5=100 جول؛ الطاقة الكلية = 9+100=109 جول.
45. جسم يتحرك بتعجيل ل=2ن+1، وسرعته الابتدائية 0. أوجد صيغة السرعة ع.
عرض الإجابة
ع = ∫(2ن+1) دن = ن²+ن+ث؛ بالشرط (ن=0،ع=0): ث=0؛ إذن ع=ن²+ن.
46. لماذا تصبح صيغة القدرة = قوة × سرعة، بدلًا من الاعتماد على حساب الشغل والزمن كخطوتين منفصلتين؟
عرض الإجابة
لأن دشغل/دن = (دشغل/دإز)×(دإز/دن) = ق×ع (بتطبيق قاعدة السلسلة)، مما يبسط الحساب مباشرة دون الحاجة لحساب الشغل الكلي أولًا.
47. جسم كتلته 3 كجم يقع على ارتفاع 4 أمتار عن سطح مرجعي (خذ جـ=10م/ث²). احسب طاقة وضعه.
عرض الإجابة
طاقة الوضع = ك جـ هـ = 3×10×4 = 120 جول.
48. جسمان متصلان بخيط عبر بكرة، كتلتاهما 5 كجم و3 كجم (بخلاف أي مثال آخر). خذ جـ=10م/ث² لتبسيط الحساب. احسب التعجيل المشترك ل.
عرض الإجابة
ل = (ك₁-ك₂)جـ/(ك₁+ك₂) = (5-3)×10/(5+3) = 20/8 = 2.5 م/ث².
49. جسم يتحرك بسرعة 10 م/ث تحت تأثير قوة 50 نيوتن تصنع زاوية 60° مع اتجاه الحركة (خذ جتا60°=0.5). احسب القدرة اللحظية (باستخدام مركبة القوة في اتجاه الحركة).
عرض الإجابة
القدرة = ق×ع×جتا60° = 50×10×0.5 = 250 واط.
50. سيارة تتسارع من السكون إلى سرعة 20 م/ث تحت تأثير قوة ثابتة 800 نيوتن. احسب القدرة اللحظية عند اللحظة التي تصل فيها السرعة إلى 20 م/ث.
عرض الإجابة
القدرة اللحظية = 800×20 = 16000 واط (لاحظ أن القدرة تتغير مع تغير السرعة أثناء التسارع، حتى مع ثبات القوة).