أسئلة تدريبية
1. صندوق بلا غطاء له قاعدة مربعة طول ضلعها س، ومساحة سطحه الكلية 96 سم² (بخلاف مثال الشرح 108). اكتب معادلة المساحة الكلية بدلالة س والارتفاع ل.
عرض الإجابة
المساحة الكلية = س² (القاعدة) + 4سل (الجوانب الأربعة) = 96.
2. حدد سلوك الدالة ص=س³-12س عند س=0 (بين القيمتين الحرجتين -2 و2).
عرض الإجابة
عند س=0: دص/دس=3(0)-12=-12 (سالبة)، إذن الدالة متناقصة عند هذه النقطة.
3. لدالة ص = س² + 2س + 1 (قيمتها الحرجة عند س=-1)، حدد نوع القيمة القصوى باستخدام اختبار المشتقة الثانية.
عرض الإجابة
د²ص/دس²=2 (موجبة دائمًا)، إذن س=-1 قيمة صغرى محلية.
4. لمستطيل محيطه 40 سم، إذا كان طوله س وعرضه ع، اكتب علاقة تربط بين س وع من معطى المحيط.
عرض الإجابة
2س+2ع=40، إذن ع=20-س.
5. لدالة ص = 2س³ – 6س، احسب دص/دس وأوجد قيمتيها الحرجتين.
عرض الإجابة
دص/دس=6س²-6؛ نساوي بصفر: س²=1، فس=1 أو س=-1.
6. احسب ∫س × هـ^(2س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء (بخلاف مثال الشرح ∫سهـˣدس).
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=هـ^(2س)دس (ق=(1/2)هـ^(2س))؛ التكامل = (س/2)هـ^(2س) – ∫(1/2)هـ^(2س)دس = (س/2)هـ^(2س) – (1/4)هـ^(2س) + ث.
7. لدالة ص = س² – 4س (بخلاف مثال الشرح س³-3س)، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 2س – 4.
8. لدالة ص = 2س³ – 6س (قيمتاها الحرجتان عند س=1، س=-1)، احسب د²ص/دس².
عرض الإجابة
د²ص/دس² = 12س.
9. في مثال ∫2س هـˣ دس، ما القيمة المختارة لـ ح وفق ترتيب الأولوية (الجبرية قبل الأسية)؟
عرض الإجابة
ح = 2س (الدالة الجبرية).
10. حدد سلوك الدالة ص=2س³-6س عند س=2.
عرض الإجابة
عند س=2: دص/دس=6(4)-6=18 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.
11. احسب ∫[من 0 إلى ln2] هـˣ دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: هـˣ؛ الناتج = هـ^(ln2) – هـ⁰ = 2 – 1 = 1.
12. أوجد القيم الحرجة لهذه الدالة (ص=س³-12س).
عرض الإجابة
نساوي 3س²-12=0، فس²=4، فس=2 أو س=-2.
13. لدالة ص = -س³ + 3س، أوجد قيمتها الحرجة أولًا.
عرض الإجابة
دص/دس=-3س²+3؛ نساوي بصفر: س²=1، فس=1 أو س=-1.
14. احسب ∫[من 1 إلى 3] 2س دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²؛ الناتج = 3² – 1² = 9 – 1 = 8.
15. لدالة ص = س² – 4س (تابع من الدرس السابق، قيمتها الحرجة عند س=2)، استخدم اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوعها.
عرض الإجابة
د²ص/دس² = 2 (ثابت وموجب دائمًا)، إذن س=2 قيمة صغرى محلية.
16. لدالة ص = س² + 2س + 1، أوجد القيمة الحرجة.
عرض الإجابة
دص/دس=2س+2؛ نساوي بصفر: 2س+2=0، فس=-1.
17. أوجد القيمة الحرجة لطول الضلع س التي تعطي أكبر حجم ممكن.
عرض الإجابة
نساوي 24 – 3س²/4 = 0؛ 3س²=96؛ س²=32؛ س=√32=4√2 سم تقريبًا.
18. احسب ∫[من -1 إلى 1] س³ دس (لاحظ تناظر الدالة الفردية).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س⁴/4؛ الناتج = (1/4) – (1/4) = 0 (متوقع، لأن س³ دالة فردية والحدود متناظرة حول الصفر).
19. أكمل حل ∫2س هـˣ دس بعد اختيار ح=2س، دق=هـˣدس.
عرض الإجابة
دح=2دس، ق=هـˣ؛ التكامل = 2سهـˣ – ∫2هـˣدس = 2سهـˣ – 2هـˣ + ث.
20. احسب ∫[من 1 إلى 4] (1/س) دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: لط|س|؛ الناتج = لط4 – لط1 = لط4 – 0 = لط4.
21. حدد نوع القيمة القصوى عند س=1 لدالة ص=-س³+3س.
عرض الإجابة
د²ص/دس²=-6س؛ عند س=1: -6(1)=-6 (سالبة)، إذن قيمة عظمى محلية.
22. باستخدام نتيجة السؤال السابق، حدد نوع القيمة القصوى عند س=2.
عرض الإجابة
عند س=2: د²ص/دس²=6(2)=12 (موجبة)، إذن قيمة صغرى محلية.
23. ما الشرط الأساسي الذي يجب توفره لاختيار ح ودق بنجاح في التكامل بالتجزيء؟
عرض الإجابة
أن يكون التكامل الناتج ∫ق دح أبسط من التكامل الأصلي.
24. حدد سلوك نفس الدالة عند س=5.
عرض الإجابة
عند س=5: دص/دس=2(5)-4=6 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.
25. احسب ∫[من 0 إلى 2] س² دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س³/3؛ الناتج = (8/3) – 0 = 8/3.
26. صندوق آخر بقاعدة مربعة ومساحة سطحية كلية 150 سم² (بلا غطاء)، اكتب معادلة المساحة الكلية بدلالة س (طول ضلع القاعدة) ول (الارتفاع).
عرض الإجابة
المساحة الكلية = س² + 4سل = 150.
27. أوجد نقطة الانقلاب لهذه الدالة (حيث د²ص/دس²=0).
عرض الإجابة
نساوي 6س-6=0، فس=1 – وهي نقطة الانقلاب.
28. متى تحديدًا لا يصلح التكامل بالتعويض، فنلجأ للتكامل بالتجزيء؟
عرض الإجابة
عندما يكون المقدار حاصل ضرب دالتين لا تنطبق عليهما طريقة التعويض (أي لا توجد دالة ومشتقتها معًا كعاملين).
29. احسب ∫[من 0 إلى 1] (2س+1) دس.
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²+س؛ الناتج = (1+1) – (0+0) = 2.
30. أوجد القيمة الحرجة لهذه الدالة (ص=س²-4س).
عرض الإجابة
نساوي 2س-4=0، فنجد س=2.
31. احسب ∫3س جا(س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء.
عرض الإجابة
نختار ح=3س (دح=3دس)، دق=جا(س)دس (ق=-جتا(س))؛ التكامل = -3سجتا(س) + ∫3جتا(س)دس = -3سجتا(س) + 3جا(س) + ث.
32. احسب المساحة المحصورة بين المنحنى ص=4-س² ومحور السينات، بين نقطتي تقاطعه مع المحور (س=-2 وس=2).
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من -2 إلى 2] (4-س²) دس = [4س – س³/3] من -2 إلى 2 = (8-8/3) – (-8+8/3) = 16 – 16/3 = 32/3 وحدة مربعة.
33. حدد ما إذا كانت الدالة ص=س²-4س متزايدة أم متناقصة عند س=0 (اختبر بالتعويض في المشتقة).
عرض الإجابة
عند س=0: دص/دس=2(0)-4=-4 (سالبة)، إذن الدالة متناقصة عند هذه النقطة.
34. احسب ∫4س جتا(2س) دس (اكتب الخطوة الأولى فقط بعد اختيار ح ودق).
عرض الإجابة
نختار ح=4س (دح=4دس)، دق=جتا(2س)دس (ق=(1/2)جا(2س))؛ الخطوة الأولى: 2سجا(2س) – ∫2جا(2س)دس.
35. احسب ∫س جتا(س) دس باستخدام التكامل بالتجزيء.
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=جتا(س)دس (ق=جا(س))؛ التكامل = س جا(س) – ∫جا(س)دس = س جا(س) + جتا(س) + ث.
36. احسب ∫لط(س) دس (حالة خاصة: نعتبر دق=دس).
عرض الإجابة
نختار ح=لط(س) (دح=(1/س)دس)، دق=دس (ق=س)؛ التكامل = س لط(س) – ∫س×(1/س)دس = س لط(س) – س + ث.
37. لدالة ص = -س² + 6س، احسب دص/دس وأوجد قيمتها الحرجة.
عرض الإجابة
دص/دس = -2س+6؛ القيمة الحرجة: -2س+6=0، فس=3.
38. احسب المساحة المحصورة بين المنحنى ص=س² ومحور السينات، بين س=0 وس=3.
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من 0 إلى 3] س² دس = [س³/3] من 0 إلى 3 = 27/3 – 0 = 9 وحدة مربعة.
39. احسب ∫س² هـˣ دس (يتطلب تجزيئًا مرتين متتاليتين – اكتب الخطوة الأولى فقط).
عرض الإجابة
نختار ح=س² (دح=2سدس)، دق=هـˣدس (ق=هـˣ)؛ الخطوة الأولى: س²هـˣ – ∫2سهـˣدس (والتكامل المتبقي ∫2سهـˣدس يحتاج تجزيئًا ثانيًا).
40. احسب المساحة المحصورة بين المنحنيين ص=س² و ص=2س بين نقطتي تقاطعهما (س=0 وس=2).
عرض الإجابة
المساحة = ∫[من 0 إلى 2] (2س – س²) دس = [س² – س³/3] من 0 إلى 2 = (4-8/3) – 0 = 4/3 وحدة مربعة.
41. حدد سلوك نفس الدالة عند س=3 (خارج القيمتين الحرجتين).
عرض الإجابة
عند س=3: دص/دس=3(9)-12=15 (موجبة)، إذن الدالة متزايدة عند هذه النقطة.
42. لدالة ص = س³ – 12س (قيمتاها الحرجتان عند س=2 وس=-2)، احسب د²ص/دس².
عرض الإجابة
د²ص/دس² = 6س.
43. حدد نوع القيمة القصوى عند س=1 لهذه الدالة.
عرض الإجابة
عند س=1: د²ص/دس²=12(1)=12 (موجبة)، إذن قيمة صغرى محلية.
44. احسب ∫[من 0 إلى 2] 3 دس (دالة ثابتة).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: 3س؛ الناتج = 3(2) – 3(0) = 6.
45. احسب ∫[من 0 إلى 2] س دس (بخلاف مثال الشرح ∫[0,1]هـˣدس).
عرض الإجابة
الدالة الأصلية: س²/2؛ الناتج = (2²/2) – (0²/2) = 2 – 0 = 2.
46. اكتب معادلة حجم الصندوق ح=س²ل بدلالة س فقط (بالتعويض من السؤال السابق).
عرض الإجابة
ح = س² × (96-س²)/(4س) = (96س-س³)/4 = 24س – س³/4.
47. لدالة ص = س³ – 3س² (بخلاف أي مثال آخر)، أوجد فترات التزايد والتناقص أولًا (القيم الحرجة).
عرض الإجابة
دص/دس=3س²-6س=3س(س-2)؛ القيم الحرجة: س=0، س=2.
48. احسب ∫س هـ^(-س) دس.
عرض الإجابة
نختار ح=س (دح=دس)، دق=هـ^(-س)دس (ق=-هـ^(-س))؛ التكامل = -سهـ^(-س) – ∫-هـ^(-س)دس = -سهـ^(-س) – هـ^(-س) + ث.
49. لدالة ص = -س² + 6س (قيمتها الحرجة عند س=3)، احسب د²ص/دس² وحدد نوع القيمة القصوى.
عرض الإجابة
د²ص/دس² = -2 (ثابت وسالب)، إذن س=3 قيمة عظمى محلية.
50. لدالة ص = س³ – 12س، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 3س² – 12.