أسئلة تدريبية
1. مخروط يفرغ من الماء بحيث يقل ارتفاع الماء بمعدل ثابت. ما الخطوة الأولى في حل أي مسألة معدلات زمنية مرتبطة، بناءً على منهجية هذا الدرس؟
عرض الإجابة
تحديد المعادلة الرياضية التي تربط الكميات المعنية (هنا: معادلة حجم المخروط بدلالة الارتفاع ونصف القطر).
2. لدالة ص = س² + 3س، احسب دص/دس ثم د²ص/دس².
عرض الإجابة
دص/دس = 2س+3؛ د²ص/دس² = 2.
3. اشتق المعادلة سص = 6 ضمنيًا بالنسبة لـ س (تحتاج قاعدة الضرب).
عرض الإجابة
ص + س(دص/دس) = 0 (بتطبيق قاعدة الضرب على حد سص).
4. لدالة بارامترية س = 2ت، ص = ت² + 1، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2، دص/دت=2ت؛ دص/دس = 2ت/2 = ت.
5. لدالة بارامترية س=هـ^(2ت)، ص=ت، احسب دص/دس عند ت=0.
عرض الإجابة
دس/دت=2هـ^(2ت)، دص/دت=1؛ دص/دس=1/(2هـ^(2ت))؛ عند ت=0: دص/دس=1/(2هـ⁰)=1/2.
6. لدالة ص = س⁵، ما رتبة المشتقة التي تصبح فيها المشتقة صفرًا لأول مرة، ولماذا؟
عرض الإجابة
عند المشتقة السادسة (د⁶ص/دس⁶ = 0)؛ لأن كل اشتقاق يخفض أس الحد بمقدار واحد، وبعد خمس مرات اشتقاق يصبح الحد ثابتًا (المشتقة الخامسة)، وأي اشتقاق إضافي لثابت يساوي صفرًا.
7. مكعب يتمدد بحيث يزداد طول ضلعه بمعدل 2سم/ثانية. إذا كان طول الضلع حاليًا 5سم، احسب معدل تغير حجم المكعب (ح=ل³، بخلاف مثال البالون الكروي في الشرح).
عرض الإجابة
دح/دت = 3ل²×(دل/دت) = 3×25×2 = 150 سم³/ثانية.
8. مكعب معدني يسخن فتتمدد أضلاعه بمعدل 0.1 سم/دقيقة. عندما يكون طول الضلع 4 سم، احسب معدل تغير حجم المكعب دح/دت.
عرض الإجابة
ح = س³، دح/دت = 3س²(دس/دت). عند س=4: دح/دت = 3(16)(0.1) = 4.8 سم³/دقيقة.
9. اشتق المعادلة سص² = 8 ضمنيًا بالنسبة لـ س (تحتاج قاعدة الضرب)، ثم أوجد دص/دس.
عرض الإجابة
بقاعدة الضرب: ص² + س(2ص)(دص/دس) = 0، ومنها دص/دس = -ص/(2س).
10. أوجد دص/دس إذا كان هـˣص = 4 (استخدم قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: هـˣ×ص + هـˣ×(دص/دس) = 0؛ نحل: دص/دس = -ص.
11. قطعة معدنية دائرية تتمدد بالحرارة بحيث يزداد محيطها بمعدل 4 سم/ثانية. احسب معدل تغير نصف قطرها دنق/دت.
عرض الإجابة
المحيط م = 2πنق، دم/دت = 2π(دنق/دت). بالتعويض: 4 = 2π(دنق/دت)، إذن دنق/دت = 4/(2π) = 2/π سم/ثانية.
12. خزان أسطواني يمتلئ بالماء بحيث يزداد ارتفاع الماء فيه بمعدل 0.3 متر/دقيقة. إذا كانت مساحة قاعدة الخزان ثابتة تساوي 4 أمتار مربعة، احسب معدل تغير حجم الماء دح/دت.
عرض الإجابة
الحجم ح = المساحة × الارتفاع، والمساحة ثابتة، إذن دح/دت = المساحة × (دالارتفاع/دت) = 4 × 0.3 = 1.2 متر مكعب/دقيقة.
13. أعد التحقق من نتيجة مثال البالون في الشرح: بالتعويض في 100=4π(25)(دنق/دت)، احسب دنق/دت.
عرض الإجابة
دنق/دت = 100/(100π) = 1/π سم/ثانية.
14. لدالة بارامترية س = ت²، ص = 2ت، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2ت، دص/دت=2؛ دص/دس = 2/(2ت) = 1/ت.
15. عند أي رتبة مشتقة تصبح مشتقة الدالة ص=2س⁵ صفرًا لأول مرة؟
عرض الإجابة
عند المشتقة السادسة (رتبة ن+1=5+1=6).
16. لدالة بارامترية س = 3ت، ص = ت³، احسب دس/دت ودص/دت.
عرض الإجابة
دس/دت = 3، دص/دت = 3ت².
17. لدالة ص = 2س⁵، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 10س⁴.
18. أوجد دص/دس إذا كان هـ^(صّ) = س (اشتقاق ضمني لدالة أسية).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: هـ^ص×(دص/دس) = 1؛ دص/دس = 1/هـ^ص = هـ^(-ص).
19. لدالة بارامترية س=ت²+1، ص=ت²-1، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=2ت، دص/دت=2ت؛ دص/دس = 2ت/2ت = 1.
20. اشتق المعادلة س² + ص² = 25 ضمنيًا بالنسبة لـ س، ثم احسب دص/دس.
عرض الإجابة
بالاشتقاق الضمني: 2س + 2ص(دص/دس) = 0، ومنها دص/دس = -س/ص.
21. مربع يتمدد بحيث يزداد طول ضلعه بمعدل 4سم/ثانية. إذا كان طول الضلع حاليًا 10سم، احسب معدل تغير مساحته (م=ل²).
عرض الإجابة
دم/دت = 2ل×(دل/دت) = 2(10)(4) = 80 سم²/ثانية.
22. لدالة ص = 5س⁴ – 2س، احسب دص/دس ثم د²ص/دس².
عرض الإجابة
دص/دس = 20س³ – 2؛ د²ص/دس² = 60س².
23. دائرة نصف قطرها يزداد بمعدل 3سم/ثانية. اكتب معادلة مساحة الدائرة اللازمة لهذه المسألة.
عرض الإجابة
م = π نق².
24. لدالة ص = س³ (بخلاف مثال الشرح س⁴)، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 3س².
25. لدالة ص = 3س² – س³، اشتق الدالة، ثم أوجد قيمها الحرجة.
عرض الإجابة
دص/دس = 6س – 3س² = 3س(2-س). القيم الحرجة عند دص/دس=0، أي عند س=0 وس=2.
26. أوجد دص/دس إذا كانت ص لط(س) = 1 (اشتقاق ضمني، قاعدة ضرب).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: (دص/دس)لط(س) + ص(1/س) = 0؛ نحل: دص/دس = -ص/(س لط(س)).
27. لدالة بارامترية س=2ت، ص=ت³-ت، احسب دص/دس ثم بسّطها.
عرض الإجابة
دس/دت=2، دص/دت=3ت²-1؛ دص/دس = (3ت²-1)/2.
28. اشتق المعادلة 3س + 4ص = 12 ضمنيًا بالنسبة لـ س (معادلة خطية).
عرض الإجابة
3 + 4(دص/دس) = 0.
29. أكمل حل مسألة الدائرة: اشتق معادلة المساحة بالنسبة للزمن.
عرض الإجابة
دم/دت = 2π نق × (دنق/دت).
30. اشتق المعادلة س² – ص² = 9 ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
2س – 2ص(دص/دس) = 0.
31. اشتق المعادلة صّ² = 4س ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
2ص(دص/دس) = 4.
32. أوجد دص/دس إذا كان س²ص + لط(س) = 3 (بخلاف مثال الشرح لط(ص)+سص=5).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: 2سص + س²(دص/دس) + 1/س = 0؛ نحل لـ دص/دس: دص/دس = -(2سص + 1/س)/س².
33. لمخروط قائم نصف زاويته يجعل نصف قطر القاعدة يساوي دائمًا الارتفاع (نق = ل)، إذا كان الحجم ح = (1/3)πنق²ل، اكتب معادلة الحجم بدلالة الارتفاع ل فقط.
عرض الإجابة
بالتعويض نق=ل في المعادلة: ح = (1/3)πل²(ل) = (1/3)πل³.
34. اشتق المعادلة س³ + ص = 5 ضمنيًا بالنسبة لـ س.
عرض الإجابة
3س² + دص/دس = 0.
35. سلم طوله 13 مترًا مستند إلى حائط رأسي، وقاعدته تنزلق مبتعدة عن الحائط بمعدل 2م/ث. عندما تكون قاعدة السلم على بعد 5 أمتار من الحائط، احسب المسافة الرأسية بين قمة السلم والأرض.
عرض الإجابة
باستخدام فيثاغورس: 5² + ص² = 13²، إذن ص² = 169-25 = 144، ص = 12 مترًا.
36. لدالة ص = 4س³ – 2س، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دس = 12س² – 2.
37. لدالة بارامترية س = هـ^ت، ص = 2ت، احسب دص/دس بدلالة ت.
عرض الإجابة
دس/دت = هـ^ت، دص/دت = 2، إذن دص/دس = 2/هـ^ت.
38. لدالة بارامترية س=ت²، ص=ت³ (نفس مثال الشرح الأصلي)، احسب قيمة دص/دس عند ت=1.
عرض الإجابة
دص/دس = 3ت/2 (كما في الشرح)؛ عند ت=1: دص/دس = 3/2.
39. اشتق المعادلة هـ^ص = س² ضمنيًا بالنسبة لـ س، ثم أوجد دص/دس.
عرض الإجابة
بالاشتقاق الضمني: هـ^ص (دص/دس) = 2س، إذن دص/دس = 2س/هـ^ص = 2س/س² = 2/س (باستخدام هـ^ص=س² من المعادلة الأصلية).
40. أوجد دص/دس إذا كانت المعادلة الضمنية هي: س³ + ص³ = 9سص (منحنى الورقة الديكارتية).
عرض الإجابة
بالاشتقاق الضمني: 3س² + 3ص²(دص/دس) = 9ص + 9س(دص/دس). بتجميع حدود دص/دس: (3ص²-9س)(دص/دس) = 9ص-3س². إذن دص/دس = (9ص-3س²)/(3ص²-9س) = (3ص-س²)/(ص²-3س).
41. أوجد دص/دس إذا كان س + هـ^ص = 5 (اشتقاق ضمني).
عرض الإجابة
اشتق ضمنيًا: 1 + هـ^ص(دص/دس) = 0؛ دص/دس = -1/هـ^ص = -هـ^(-ص).
42. لدالة بارامترية س=3ت، ص=لط(ت) (بخلاف مثال الشرح س=هـ^ت)، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=3، دص/دت=1/ت؛ دص/دس = (1/ت)/3 = 1/(3ت).
43. في مسألة البالون الكروي حيث دح/دت=100 سم³/ثانية ونق=5سم (كما في الشرح)، ما معادلة الحجم المستخدمة أصلًا؟
عرض الإجابة
ح = (4/3)π نق³.
44. اشتق المعادلة س² + ص² = 16 ضمنيًا بالنسبة لـ س (بخلاف مثال الشرح =25).
عرض الإجابة
2س + 2ص(دص/دس) = 0.
45. لدالة بارامترية س = ت³، ص = ت، احسب دص/دس.
عرض الإجابة
دس/دت=3ت²، دص/دت=1؛ دص/دس = 1/(3ت²).
46. أوجد دص/دس إذا كانت صّ³ = س² + س (اشتقاق ضمني).
عرض الإجابة
3ص²(دص/دس) = 2س+1؛ دص/دس = (2س+1)/(3ص²).
47. لدالة بارامترية س = 4ت، ص = ت² – 1، احسب دص/دت ودس/دت ثم دص/دس.
عرض الإجابة
دص/دت = 2ت، دس/دت = 4، إذن دص/دس = 2ت/4 = ت/2.
48. أكمل حل مسألة السلم: اشتق المعادلة س²+ص²=100 ضمنيًا بالنسبة للزمن.
عرض الإجابة
2س(دس/دت) + 2ص(دص/دت) = 0.
49. لدالة بارامترية س = ت + 1، ص = ت² (بخلاف مثال الشرح س=ت²،ص=ت³)، احسب دس/دت.
عرض الإجابة
دس/دت = 1.
50. سلم طوله 10 أمتار مستند إلى حائط، وقاعدته تنزلق مبتعدة عن الحائط بمعدل 1م/ثانية. إذا كانت المسافة الأفقية للقاعدة حاليًا 6 أمتار، ما العلاقة الأساسية بين المسافة الأفقية (س) والارتفاع الرأسي (ص) التي نبدأ منها؟
عرض الإجابة
س² + ص² = 10² = 100 (نظرية فيثاغورس، بما أن السلم طوله ثابت 10 أمتار).