أسئلة تدريبية
1. في مفكوك (2س + 1)⁵، أوجد الحد المشتمل على س².
عرض الإجابة
نساوي 5-ك=2 فك=3؛ الحد = ⁵C₃ (2س)² (1)³ = 10 × 4س² × 1 = 40س².
2. اكتب مفكوك (س + ص)⁴ كاملًا (بخلاف المثال (س+ص)³ الموضح في الشرح).
عرض الإجابة
س⁴ + 4س³ص + 6س²ص² + 4سص³ + ص⁴.
3. احسب معيار العدد المركب ع = √3 + ت (بخلاف مثال الشرح 1 + ت√3).
عرض الإجابة
ر = √((√3)² + 1²) = √(3+1) = 2.
4. في مسألة تقول: “معامل الحد الرابع في مفكوك (س+ص)ⁿ يساوي معامل الحد الثالث”، ما القيمة الأولية لهذه النسبة التي نساويها بـ 1؟
عرض الإجابة
نسبة الحد الرابع إلى الحد الثالث = 1 (لأنهما متساويان).
5. في نفس مفكوك السؤال السابق (ن=9)، عند أي قيمة تقريبية لك تصبح النسبة أقل من 1 (بافتراض س=ص=1)؟
عرض الإجابة
عندما (9-ك)/(ك+1) < 1، أي 9-ك 4، فتبدأ النسبة في الانخفاض عن 1 عند ك=5 تقريبًا.
6. في مفكوك (3 + س)⁵، أوجد الحد الخالي من س (الحد الثابت).
عرض الإجابة
يتحقق عندما أُس س = 0، أي ك=5: ⁵C₅ 3⁰ س⁵… تحقق أن الحد الثابت هنا هو عند حذف س تمامًا؛ بما أن الصورة (3+س)⁵ فالحد الثابت هو عند ك=0: ⁵C₀ 3⁵ = 243.
7. في مفكوك (س + 1)⁸، أوجد الحد السادس.
عرض الإجابة
الحد السادس يقابل ك=5: ⁸C₅ س³ 1⁵ = 56س³.
8. اكتب الحد الثاني فقط من مفكوك (س + ص)⁵ (دون باقي المفكوك).
عرض الإجابة
⁵C₁ س⁴ص = 5س⁴ص.
9. اكتب الصورة المثلثية للعدد ع = √3 + ت.
عرض الإجابة
2(جتا 30° + ت جا 30°).
10. إذا كانت النسبة بين حدين متتاليين في مفكوك معين تساوي (ن-ك)/(ك+1) × (ص/س)، وكانت ن=9، ك=3، فهل يستمر الحد في التزايد أم التناقص عند هذه النقطة (بافتراض س=ص=1)؟
عرض الإجابة
النسبة = (9-3)/(3+1) = 6/4 = 1.5 > 1، إذن الحد لا يزال في تزايد عند هذه النقطة.
11. احسب ⁶C₄ باستخدام خاصية التماثل مع ⁶C₂ (دون حساب مباشر لـ ⁶C₄).
عرض الإجابة
بما أن ⁶C₄ = ⁶C₂ (تماثل)، و⁶C₂ = 6!÷(2!×4!) = 15، فإن ⁶C₄ = 15.
12. احسب ⁵C₂.
عرض الإجابة
5! ÷ (2! × 3!) = 10.
13. احسب 6! ÷ 4!.
عرض الإجابة
30 (= 6×5).
14. بسّط المقدار 1 + 2و + 2و² باستخدام خاصية 1+و+و²=0.
عرض الإجابة
1 + 2و + 2و² = (1+و+و²) + (و+و²) = 0 + (و+و²) = و+و² = -1 (لأن 1+و+و²=0، فو+و²=-1).
15. ما الفرق الجوهري بين الجذر التكعيبي الأول (=1) والجذرين الآخرين (و، و²) من حيث كونهما حقيقيين أم مركبين؟
عرض الإجابة
الجذر الأول (1) هو العدد الحقيقي الوحيد بين الجذور الثلاثة؛ الجذران الآخران (و، و²) عددان مركبان (لهما جزء تخيلي غير صفري).
16. بشكل عام، عند حل مسألة “أوجد الحد الأكبر”، هل نبحث عن النقطة التي تتحول عندها النسبة من أكبر من 1 إلى أقل من 1، أم العكس؟
عرض الإجابة
من أكبر من 1 إلى أقل من (أو تساوي) 1 – وهذا يحدد أكبر حد في المفكوك.
17. حوّل العدد ع = 3(جتا 90° + ت جا 90°) إلى الصورة الجبرية.
عرض الإجابة
أ = 3جتا90° = 0، ب = 3جا90° = 3؛ إذن ع = 3ت.
18. تحقق جبريًا أن و² = -1/2 – ت√3/2 يحقق المعادلة سّ³ = 1 (بالتعويض المباشر، بشكل مختصر).
عرض الإجابة
بما أن و³=1 (خاصية أساسية)، فإن (و²)³ = و⁶ = (و³)² = 1² = 1 – إذن و² يحقق المعادلة.
19. بسّط المقدار (1+و)(1+و²) باستخدام خاصية 1+و+و²=0.
عرض الإجابة
(1+و)(1+و²) = 1+و²+و+و³ = (1+و+و²)+و³ = 0+1 = 1.
20. في مفكوك (س + 3)⁶، أوجد الحد المشتمل على س³ (بخلاف مثال الشرح (س+2)⁷).
عرض الإجابة
الحد العام: ⁶Cₖ س^(6-ك) 3ᵏ؛ نساوي 6-ك=3 فنجد ك=3؛ الحد = ⁶C₃ س³ 3³ = 20×27×س³ = 540س³.
21. احسب معيار وسعة العدد ع = 2ت (عدد تخيلي بحت).
عرض الإجابة
ر = √(0²+2²) = 2؛ θ = 90° (يقع على المحور التخيلي الموجب مباشرة).
22. احسب سعة العدد ع = -1 – ت√3 (احذر الربع عند تحديد الزاوية).
عرض الإجابة
ظا θ = √3، والزاوية المرجعية 60°؛ لكن العدد في الربع الثالث، فالسعة = 180°+60° = 240°.
23. ما سعة العدد ع = 5 (عدد حقيقي موجب بحت)؟
عرض الإجابة
θ = 0° (يقع على الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي مباشرة).
24. إذا كانت نسبة صّ إلى سّ في مسألة معينة تساوي 1 (س=ص)، فما الذي يحدد وحده مكان أكبر حد في المفكوك عندئذ؟
عرض الإجابة
قيمة ن نفسها (يكون أكبر حد قريبًا من منتصف المفكوك، عند ك ≈ ن/2).
25. في مفكوك (س + ص)⁸، اكتب صيغة النسبة بين الحد الخامس والحد الرابع (دون حساب رقمي، فقط الصيغة).
عرض الإجابة
النسبة = (⁸C₄ س⁴ص⁴) ÷ (⁸C₃ س⁵ص³)، والتي تُبسَّط باستخدام صيغة النسبة العامة.
26. أوجد إحدى الجذور التربيعية فقط (عند ك=0) للعدد ع = 9(جتا 40° + ت جا 40°).
عرض الإجابة
ر^(1/2)=3؛ السعة عند ك=0: 40/2=20°؛ الجذر = 3(جتا20° + ت جا20°).
27. بسّط المقدار و⁷.
عرض الإجابة
و⁷ = و⁶ × و = 1 × و = و.
28. احسب و⁵.
عرض الإجابة
و⁵ = و³ × و² = 1 × و² = و².
29. احسب (و²)² (أي و⁴ بطريقة أخرى) وتحقق من تطابق الناتج مع الحساب المباشر لـ و⁴.
عرض الإجابة
(و²)² = و⁴ = و (كما حسبناه في سؤال سابق) – نفس النتيجة، يتحقق التطابق.
30. احسب عدد حدود مفكوك (س + ص)⁶.
عرض الإجابة
7 حدود (ن + 1 = 6 + 1).
31. استخدم خاصية التماثل لإيجاد ⁷C₅ إذا علمت أن ⁷C₂ = 21.
عرض الإجابة
⁷C₅ = ⁷C₂ = 21 (بالتماثل).
32. احسب و⁴ باستخدام خاصية و³ = 1.
عرض الإجابة
و⁴ = و³ × و = 1 × و = و.
33. أكمل السؤال السابق: احسب قيمة هذا الحد كاملة.
عرض الإجابة
⁷C₂ = 21؛ الحد = 21 × س⁵ × 25 = 525س⁵.
34. حوّل العدد ع = 4(جتا 180° + ت جا 180°) إلى الصورة الجبرية.
عرض الإجابة
أ = 4×(-1) = -4، ب = 4×0 = 0؛ إذن ع = -4.
35. ما مجموع أُسي س وص في الحد الرابع من مفكوك (س + ص)⁶؟
عرض الإجابة
6 (يساوي ن دائمًا، بغض النظر عن رقم الحد).
36. احسب (2(جتا 15° + ت جا 15°))⁴.
عرض الإجابة
المعيار: 2⁴=16؛ السعة: 4×15°=60°؛ الناتج = 16(جتا60° + ت جا60°).
37. احسب (3(جتا 30° + ت جا 30°))³.
عرض الإجابة
المعيار: 3³=27؛ السعة: 3×30°=90°؛ الناتج = 27(جتا90° + ت جا90°) = 27ت.
38. ما قيمة ⁴C₀ و⁴C₄؟ ولماذا هما متساويتان؟
عرض الإجابة
كلاهما يساوي 1، بسبب خاصية التماثل (ⁿC₀ = ⁿCₙ دائمًا = 1).
39. كم جذرًا للعدد المركب ع = 5(جتا 50° + ت جا 50°) إذا أردنا الجذور الخماسية (ن=5)؟
عرض الإجابة
5 جذور مختلفة بالضبط.
40. في مفكوك (س + ص)ⁿ، إذا كانت النسبة بين الحدين المتتاليين محسوبة بالصيغة العامة، فما العاملان الأساسيان اللذان تعتمد عليهما هذه النسبة؟
عرض الإجابة
قيمة ك، ونسبة صّ إلى سّ (أو العكس حسب ترتيب الحدود).
41. احسب و¹⁰ (استخدم خاصية و³=1 وقسمة الأس على 3).
عرض الإجابة
10 = 3×3+1، إذن و¹⁰ = (و³)³ × و = 1×و = و.
42. احسب و⁶.
عرض الإجابة
و⁶ = (و³)² = 1² = 1.
43. احسب معيار العدد ع = -2 + 2ت.
عرض الإجابة
ر = √((-2)² + 2²) = √8 = 2√2.
44. صيغة عامة: النسبة بين الحدين المتتاليين تعتمد على قسمة الحد (ك+2) على الحد (ك+1). ما الخاصية في المضروب التي تُستخدم لتبسيط هذه القسمة؟
عرض الإجابة
(ك+1)! = (ك+1) × ك!.
45. في مفكوك (2س – 3)⁴، أوجد الحد الثالث.
عرض الإجابة
الحد الثالث يقابل ك=2: ⁴C₂ (2س)² (-3)² = 6 × 4س² × 9 = 216س².
46. احسب ⁸C₁.
عرض الإجابة
8.
47. أوجد الجذور التكعيبية (ن=3) للعدد ع = 8(جتا 0° + ت جا 0°) (أي العدد 8 نفسه).
عرض الإجابة
ر^(1/3)=2؛ السعات: (0+360ك)/3 لك=0،1،2؛ الجذور: 2(جتا0°)، 2(جتا120°+تجا120°)، 2(جتا240°+تجا240°).
48. في مفكوك (س + ص)¹⁰، أوجد قيمة ك التي عندها يكون الحد الأكبر (بافتراض س=ص=1 لتبسيط المسألة كحالة عددية)، إذا علمت أن النسبة بين الحدين المتتاليين تصبح أقل من 1 عندما ك > 5.
عرض الإجابة
الحد الأكبر يقع عند ك=5 تقريبًا (النسبة تساوي 1 تقريبًا عند منتصف المفكوك عندما س=ص).
49. أوجد الجذور التربيعية (ن=2) للعدد ع = 4(جتا 60° + ت جا 60°).
عرض الإجابة
ر^(1/2)=2؛ السعات: (60+360ك)/2 لك=0،1؛ الجذر الأول: 2(جتا30°+تجا30°)؛ الجذر الثاني: 2(جتا210°+تجا210°).
50. احسب معيار العدد ع = 5 (عدد حقيقي بحت).
عرض الإجابة
ر = √(5² + 0²) = 5.