أسئلة تدريبية
1. ما الخصائص الأساسية لمنحنى التوزيع الطبيعي (الجرسي الشكل)؟ اذكر ثلاث خصائص.
من أهم خصائصه: (1) متماثل تمامًا حول الوسط الحسابي μ، (2) أعلى نقطة في المنحنى تقع عند الوسط الحسابي، ويتناقص المنحنى تدريجيًا كلما ابتعدنا عنه في الاتجاهين، (3) المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1 بالضبط (تمثل مجموع كل الاحتمالات الممكنة).
2. لماذا يتساوى الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في التوزيع الطبيعي؟
لأن التوزيع الطبيعي متماثل تمامًا حول مركزه؛ وهذا التماثل الكامل يعني أن نقطة التوازن (المتوسط)، ونقطة تقسيم البيانات لنصفين متساويين (الوسيط)، والقيمة الأكثر تكرارًا (المنوال، عند قمة المنحنى) تقع جميعها عند نفس النقطة المركزية بالضبط.
3. عرّف درجة المعيار Z (Z-score) وما الغرض من تحويل قيمة أصلية X إلى قيمتها المعيارية Z؟
درجة المعيار Z = (X−μ)/σ، وتُمثل عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة X عن الوسط الحسابي μ. الغرض من التحويل هو تحويل أي توزيع طبيعي (مهما كان وسطه وانحرافه المعياري) إلى التوزيع الطبيعي المعياري القياسي (μ=0، σ=1)، مما يسمح باستخدام جدول واحد موحد لحساب الاحتمالات لأي توزيع طبيعي.
4. متغير عشوائي X يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط μ=60 وانحراف معياري σ=10. احسب درجة المعيار Z للقيمة X=70.
Z = (X−μ)/σ = (70−60)/10 = 1.
5. لنفس التوزيع (μ=60، σ=10)، احسب درجة المعيار Z للقيمة X=50.
Z = (50−60)/10 = −1.
6. ماذا تعني درجة المعيار السالبة (كـ Z=−1 مثلًا) بالنسبة لموضع القيمة الأصلية X مقارنة بالوسط الحسابي؟
تعني أن القيمة الأصلية X تقع أسفل (أقل من) الوسط الحسابي μ بمقدار انحراف معياري واحد (أو أكثر إذا كانت Z أصغر من −1)؛ فإشارة Z السالبة تدل على أن X أقل من μ، بينما الإشارة الموجبة تدل على أن X أكبر من μ.
7. درجات اختبار موزعة توزيعًا طبيعيًا بوسط 65 وانحراف معياري 8. احسب درجة المعيار لطالب حصل على 81 درجة.
Z = (81−65)/8 = 16/8 = 2.
8. باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، P(Z<1) ≈ 0.8413. ما احتمال أن تكون قيمة عشوائية من توزيع طبيعي أقل من قيمة تبعد بمقدار انحراف معياري واحد فوق الوسط (μ+σ)؟
بما أن هذه القيمة تقابل Z=1، فإن الاحتمال P(X<μ+σ) = P(Z<1) ≈ 0.8413، أي حوالي 84.13%.
9. باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، P(Zμ+2σ))؟
P(X>μ+2σ) = P(Z>2) = 1 − P(Z<2) = 1 − 0.9772 = 0.0228، أي حوالي 2.28%.
10. ما القاعدة التجريبية (Empirical Rule / قاعدة 68-95-99.7) للتوزيع الطبيعي؟
تنص القاعدة التجريبية على أنه في أي توزيع طبيعي: حوالي 68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط (μ±σ)، وحوالي 95% تقع ضمن انحرافين معياريين (μ±2σ)، وحوالي 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية (μ±3σ).
11. أطوال طلاب صف دراسي تتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط 170 سم وانحراف معياري 6 سم. باستخدام القاعدة التجريبية، احسب المدى الذي يقع ضمنه حوالي 95% من أطوال الطلاب.
95% من البيانات تقع تقريبًا ضمن μ±2σ = 170±2×6 = 170±12، أي من 158 سم إلى 182 سم.
12. درجات اختبار موزعة طبيعيًا بوسط 100 وانحراف معياري 15 (كاختبار ذكاء نموذجي). احسب احتمال أن تكون درجة طالب عشوائي أكبر من 130 (استخدم P(Z>2)≈0.0228).
Z = (130−100)/15 = 30/15 = 2. P(X>130) = P(Z>2) ≈ 0.0228، أي حوالي 2.28%.
13. لنفس التوزيع (μ=100، σ=15)، احسب احتمال أن تكون درجة طالب أقل من 85 (استخدم P(Z<−1)≈0.1587).
Z = (85−100)/15 = −1. P(X<85) = P(Z<−1) ≈ 0.1587، أي حوالي 15.87%.
14. لنفس التوزيع (μ=100، σ=15)، احسب احتمال أن تقع درجة طالب بين 85 و115 (استخدم القيم من السؤالين السابقين، وP(Z<1)≈0.8413).
Z لـ85 = −1، وZ لـ115 = (115−100)/15 = 1. P(85<X<115) = P(−1<Z<1) = P(Z<1)−P(Z<−1) ≈ 0.8413−0.1587 = 0.6826، أي حوالي 68.26% (يتفق تمامًا مع القاعدة التجريبية لانحراف معياري واحد).
15. لماذا يُعدّ التوزيع الطبيعي نموذجًا شائع الاستخدام في العلوم الطبيعية والاجتماعية (كأطوال الأفراد ودرجات الاختبارات)، رغم أنه مجرد نموذج نظري تقريبي؟
لأن العديد من الظواهر الطبيعية تنتج عن تراكم عدد كبير من العوامل العشوائية المستقلة الصغيرة التي تؤثر معًا (كالعوامل الوراثية والبيئية المتعددة المؤثرة على الطول مثلًا)، وتُظهر نتائج نظرية (كنظرية النهاية المركزية) أن مجموع أو متوسط عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة يقترب من التوزيع الطبيعي بغض النظر عن التوزيع الأصلي لكل عامل منفرد، مما يجعله نموذجًا تقريبيًا جيدًا وشائعًا لظواهر كثيرة.
16. وزن أكياس دقيق يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط 1000 جرام وانحراف معياري 20 جرام. ما احتمال أن يكون وزن كيس عشوائي أقل من 960 جرامًا؟ (استخدم P(Z<−2)≈0.0228).
Z = (960−1000)/20 = −40/20 = −2. P(X<960) = P(Z<−2) ≈ 0.0228، أي حوالي 2.28%.
17. مصنع يريد أن تكون نسبة الأكياس التي تزن أقل من الحد الأدنى المقبول صغيرة جدًا. إذا كان توزيع الوزن طبيعيًا بوسط 1000 جرام وانحراف معياري 20 جرام، وأراد المصنع ضبط الحد الأدنى المقبول بحيث لا يقع تحته إلا حوالي 2.28% من الإنتاج، ما القيمة المناسبة لهذا الحد؟
بما أن P(Z<−2)≈0.0228، فإن الحد الأدنى المطلوب يقابل Z=−2: X = μ+Zσ = 1000+(−2)×20 = 1000−40 = 960 جرامًا.
18. درجات حرارة يومية في مدينة معينة تتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط 28° وانحراف معياري 3°. ما احتمال أن تتجاوز درجة الحرارة في يوم عشوائي 34°؟ (استخدم P(Z<2)≈0.9772).
Z = (34−28)/3 = 6/3 = 2. P(X>34) = 1 − P(Z<2) ≈ 1−0.9772 = 0.0228، أي حوالي 2.28%.
19. زمن إنجاز مهمة معينة يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط 45 دقيقة وانحراف معياري 5 دقائق. ما احتمال أن يُنجز شخص عشوائي المهمة في أقل من 50 دقيقة؟ (استخدم P(Z<1)≈0.8413).
Z = (50−45)/5 = 1. P(X<50) = P(Z<1) ≈ 0.8413، أي حوالي 84.13%.
20. لماذا يُستخدم جدول موحد واحد لقيم التوزيع الطبيعي المعياري (μ=0،σ=1) بدلاً من إعداد جدول منفصل لكل قيمتي μ وσ ممكنتين؟
لأن أي توزيع طبيعي، بغض النظر عن قيمتي μ وσ الأصليتين، يمكن تحويله بسهولة إلى التوزيع الطبيعي المعياري باستخدام تحويل درجة المعيار Z=(X−μ)/σ؛ وبما أن هذا التحويل يُعيد تعريف المحور بدلالة عدد الانحرافات المعيارية بدلاً من الوحدات الأصلية، فإن جدولًا واحدًا موحدًا للتوزيع المعياري يكفي لحساب أي احتمال لأي توزيع طبيعي كان، بدلاً من إعداد عدد لا نهائي من الجداول.
21. درجات اختبار قياس موزعة طبيعيًا بوسط 500 وانحراف معياري 100. طالب حصل على درجة معيارية Z=1.5. ما درجته الأصلية X؟
من علاقة Z=(X−μ)/σ نستنتج: X = μ + Zσ = 500 + 1.5×100 = 500+150 = 650.
22. مصنع أدوية يريد ضبط جرعة دواء بحيث يقع 90% من الجرعات المصنعة ضمن حدود مقبولة حول الجرعة المستهدفة. لماذا يُعدّ فهم التوزيع الطبيعي لخطأ التصنيع مهمًا في هذا السياق؟
لأن فهم التوزيع الطبيعي لأخطاء التصنيع (تشتتها حول القيمة المستهدفة، ممثلًا بالانحراف المعياري) يسمح للمصنع بحساب النسبة المئوية المتوقعة من الجرعات التي ستقع ضمن حدود مقبولة معينة، وبالتالي ضبط عمليات التصنيع (تقليل الانحراف المعياري أو تعديل نطاق القبول) لتحقيق المستوى المطلوب من الجودة والسلامة.
23. ما الفرق بين استخدام التوزيع الطبيعي لوصف بيانات فعلية موجودة (كأطوال مجموعة أشخاص حقيقيين) واستخدامه كنموذج نظري للتنبؤ باحتمالات مستقبلية؟
عند وصف بيانات فعلية، يُستخدم التوزيع الطبيعي كتقريب رياضي مناسب لملخّص شكل توزيع البيانات الملحوظة فعليًا. أما عند استخدامه للتنبؤ، فيُفترض أن العملية التي تُنتج بيانات مستقبلية مشابهة (كقياسات جديدة) ستستمر في اتباع نفس النموذج الطبيعي بنفس معلمتيه (μ وσ)، وهو افتراض يحتاج تبريرًا (كثبات ظروف الإنتاج أو القياس) وليس ضمانًا مؤكدًا دائمًا.
24. عرّف فترة الثقة (Confidence Interval) بالكلمات، وما الذي يعنيه مستوى الثقة (مثل 95%) المرتبط بها؟
فترة الثقة هي مدى من القيم يُقدَّر أن يحتوي على معلمة المجتمع الحقيقية (كالوسط الحسابي μ) بناءً على عينة من البيانات. مستوى الثقة (كـ95%) يعني أنه لو كُررت عملية أخذ العينة وبناء الفترة عددًا كبيرًا جدًا من المرات، فإن حوالي 95% من هذه الفترات المبنية ستحتوي فعليًا على القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع.
25. ما الصيغة العامة لفترة الثقة لوسط المجتمع μ عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ معروفًا؟
فترة الثقة = x̄ ± Z×(σ/√n)، حيث x̄ هو متوسط العينة، Z هي القيمة المعيارية المقابلة لمستوى الثقة المطلوب (مثل 1.96 لمستوى ثقة 95%)، σ الانحراف المعياري للمجتمع، وn حجم العينة.
26. عينة من 36 طالبًا لها متوسط درجات 50، والانحراف المعياري للمجتمع معروف σ=8. احسب فترة ثقة 95% لوسط درجات المجتمع (استخدم Z=1.96).
هامش الخطأ = Z×(σ/√n) = 1.96×(8/√36) = 1.96×(8/6) ≈ 1.96×1.333 ≈ 2.613. فترة الثقة = 50 ± 2.613، أي تقريبًا من 47.39 إلى 52.61.
27. عينة من 64 قياسًا لها متوسط 200، وσ=20. احسب فترة ثقة 99% لوسط المجتمع (استخدم Z=2.576).
هامش الخطأ = 2.576×(20/√64) = 2.576×(20/8) = 2.576×2.5 = 6.44. فترة الثقة = 200 ± 6.44، أي تقريبًا من 193.56 إلى 206.44.
28. لماذا تكون فترة الثقة بمستوى 99% أوسع (أكبر هامش خطأ) من فترة الثقة بمستوى 95% لنفس العينة بالضبط؟
لأن زيادة مستوى الثقة المطلوب (من 95% إلى 99%) يتطلب توسيع الفترة لزيادة احتمال احتوائها على القيمة الحقيقية للمعلمة؛ فكلما أردنا التأكد بدرجة أعلى (ثقة أكبر)، احتجنا لهامش خطأ أكبر (قيمة Z أكبر)، مما يجعل الفترة الناتجة أوسع.
29. لماذا تُصبح فترة الثقة أضيق (هامش خطأ أصغر) عند زيادة حجم العينة n، مع بقاء مستوى الثقة وσ ثابتين؟
لأن هامش الخطأ = Z×(σ/√n)، وزيادة n تزيد من قيمة المقام √n، مما يُقلل من قيمة الكسر (σ/√n) وبالتالي هامش الخطأ الكلي؛ فالعينات الأكبر تعطي تقديرًا أكثر دقة (أقل تشتتًا) لمتوسط المجتمع، فتحتاج هامش خطأ أصغر للوصول لنفس مستوى الثقة.
30. عينة من 100 قياس لها متوسط 75، σ=10. احسب فترة ثقة 90% لوسط المجتمع (استخدم Z=1.645).
هامش الخطأ = 1.645×(10/√100) = 1.645×(10/10) = 1.645×1 = 1.645. فترة الثقة = 75 ± 1.645، أي تقريبًا من 73.355 إلى 76.645.
31. ما القيمة التقريبية لـZ المستخدمة عادة لبناء فترة ثقة بمستوى 90% ومستوى 95% ومستوى 99%؟
لمستوى ثقة 90%: Z≈1.645. لمستوى ثقة 95%: Z≈1.96. لمستوى ثقة 99%: Z≈2.576. (هذه القيم تزداد كلما زاد مستوى الثقة المطلوب).
32. باحث يريد تقليل هامش الخطأ في فترة الثقة إلى النصف مع بقاء مستوى الثقة وσ ثابتين. كم مرة يجب أن يزيد حجم العينة n تقريبًا؟
بما أن هامش الخطأ يتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لـn (هامش الخطأ ∝ 1/√n)، فلتقليل هامش الخطأ إلى النصف، يجب أن يزيد n إلى أربعة أمثال قيمته الأصلية (لأن √4=2، وهذا يُنصّف الكسر 1/√n).
33. ما الفرق بين ‘مستوى الثقة’ المرتبط بفترة الثقة و’الاحتمال’ بمعناه المباشر المرتبط بمتغير عشوائي واحد؟
مستوى الثقة يصف خاصية طويلة المدى لإجراء بناء الفترة نفسه (نسبة الفترات التي ستحتوي على المعلمة الحقيقية إذا كُرر أخذ العينات عدة مرات)، وليس احتمالًا مباشرًا لكون المعلمة الحقيقية (وهي قيمة ثابتة غير عشوائية، وإن كانت مجهولة) تقع داخل فترة واحدة محددة بعينها؛ فبمجرد بناء فترة ثقة واحدة من عينة معينة، تكون إما تحتوي على القيمة الحقيقية أو لا تحتويها (بشكل قطعي، وإن كان غير معروف لنا)، وليس هذا ‘احتمالًا’ بالمعنى المعتاد.
34. لماذا يحتاج الباحثون عادة لتقدير حجم عينة كافٍ مسبقًا قبل إجراء دراسة تعتمد على فترات الثقة؟
لأن حجم العينة يحدد بشكل مباشر دقة (ضيق) فترة الثقة الناتجة عند مستوى ثقة معين؛ فإذا كانت العينة صغيرة جدًا، ستكون فترة الثقة واسعة جدًا وغير مفيدة عمليًا (تقدير غير دقيق)، بينما اختيار حجم عينة مناسب مسبقًا (بناءً على دقة مطلوبة وهامش خطأ مقبول) يضمن حصول الدراسة على نتائج ذات دقة كافية دون إهدار موارد زائدة في جمع بيانات أكثر من اللازم.
35. عينة من 49 قياسًا لها متوسط 120، σ=14. احسب فترة ثقة 95% لوسط المجتمع (استخدم Z=1.96).
هامش الخطأ = 1.96×(14/√49) = 1.96×(14/7) = 1.96×2 = 3.92. فترة الثقة = 120 ± 3.92، أي تقريبًا من 116.08 إلى 123.92.
36. لماذا يُشترط عادة أن يكون حجم العينة كبيرًا نسبيًا (أو أن يكون توزيع المجتمع الأصلي نفسه طبيعيًا) لاستخدام صيغة فترة الثقة القائمة على التوزيع الطبيعي؟
لأن الصيغة تعتمد على افتراض أن توزيع متوسط العينة (وليس بالضرورة البيانات الفردية نفسها) يقترب من التوزيع الطبيعي؛ وإذا كان المجتمع الأصلي نفسه طبيعي التوزيع، يتحقق هذا الافتراض لأي حجم عينة. أما إذا لم يكن المجتمع الأصلي طبيعيًا، فإن نظرية النهاية المركزية تضمن أن متوسط العينة يقترب من التوزيع الطبيعي فقط عندما يكون حجم العينة كبيرًا بما فيه الكفاية (عادة يُشترط n≥30 كقاعدة عملية شائعة).
37. مصنع يفحص عينة من 25 مصباحًا كهربائيًا فوجد متوسط عمرها 800 ساعة، وσ=50 ساعة. احسب فترة ثقة 95% لمتوسط عمر جميع المصابيح المنتجة (استخدم Z=1.96).
هامش الخطأ = 1.96×(50/√25) = 1.96×(50/5) = 1.96×10 = 19.6. فترة الثقة = 800 ± 19.6، أي تقريبًا من 780.4 إلى 819.6 ساعة.
38. درجات حرارة عينة من 16 يومًا في مدينة معينة لها متوسط 30°، σ=4°. احسب فترة ثقة 90% لمتوسط درجة الحرارة السنوي في هذه المدينة (استخدم Z=1.645).
هامش الخطأ = 1.645×(4/√16) = 1.645×(4/4) = 1.645×1 = 1.645. فترة الثقة = 30 ± 1.645، أي تقريبًا من 28.355 إلى 31.645 درجة.
39. ما تأثير زيادة الانحراف المعياري σ للمجتمع (مع بقاء n ومستوى الثقة ثابتين) على عرض فترة الثقة الناتجة؟
تزداد فترة الثقة اتساعًا (يكبر هامش الخطأ) كلما زاد الانحراف المعياري σ؛ لأن هامش الخطأ يتناسب طرديًا مباشرة مع σ في الصيغة Z×(σ/√n)، فزيادة تشتت المجتمع الأصلي يزيد من عدم اليقين حول تقدير متوسطه، مما يستلزم فترة أوسع لنفس مستوى الثقة.
40. شركة تُجري استطلاعًا لعينة من 400 عميل عن مدى رضاهم (على مقياس رقمي)، فوجدت متوسط رضا 7.2 من 10، وσ=1.5. احسب فترة ثقة 95% لمتوسط الرضا الحقيقي لجميع العملاء (استخدم Z=1.96).
هامش الخطأ = 1.96×(1.5/√400) = 1.96×(1.5/20) = 1.96×0.075 = 0.147. فترة الثقة = 7.2 ± 0.147، أي تقريبًا من 7.053 إلى 7.347.
41. لماذا تُعدّ فترة الثقة معلومة أكثر فائدة عمليًا من مجرد تقدير نقطي واحد (كمتوسط العينة x̄ فقط) لتقدير معلمة مجهولة للمجتمع؟
لأن التقدير النقطي وحده (كـ x̄) لا يُعطي أي فكرة عن مدى دقة هذا التقدير أو مقدار عدم اليقين المحيط به؛ بينما فترة الثقة تُرفق التقدير بمدى من القيم المعقولة مع مستوى ثقة محدد، مما يعطي صورة أكثر واقعية وشفافية عن مدى إمكانية الاعتماد على هذا التقدير عمليًا.
42. ما العلاقة بين عرض فترة الثقة والدقة (precision) التي يُنسب إليها تقدير معلمة المجتمع؟
توجد علاقة عكسية بينهما: كلما كانت فترة الثقة أضيق (أصغر هامش خطأ)، كانت أكثر دقة في تحديد موقع القيمة الحقيقية للمعلمة. والعكس صحيح: الفترة الواسعة جدًا تعني عدم دقة كافية في التقدير، حتى لو كانت مصحوبة بمستوى ثقة عالٍ.
43. عينة من 81 قياسًا لها متوسط 55، σ=18. احسب فترة ثقة 99% لوسط المجتمع (استخدم Z=2.576).
هامش الخطأ = 2.576×(18/√81) = 2.576×(18/9) = 2.576×2 = 5.152. فترة الثقة = 55 ± 5.152، أي تقريبًا من 49.848 إلى 60.152.
44. مستشفى يدرس متوسط مدة إقامة المرضى بناءً على عينة من 100 مريض، فوجد متوسطًا 4.5 يوم وσ=2 يوم. احسب فترة ثقة 95% لمتوسط مدة الإقامة الحقيقي لكل المرضى (استخدم Z=1.96).
هامش الخطأ = 1.96×(2/√100) = 1.96×(2/10) = 1.96×0.2 = 0.392. فترة الثقة = 4.5 ± 0.392، أي تقريبًا من 4.108 إلى 4.892 يوم.
45. طالب يرى أن فترة ثقة 99% أفضل دائمًا من فترة ثقة 95% لأنها ‘أكثر ثقة’. ما التوضيح الصحيح لهذا الفهم، مع الأخذ في الاعتبار عرض كل فترة؟
صحيح أن مستوى الثقة 99% أعلى من 95%، لكن هذا يأتي على حساب اتساع الفترة (هامش خطأ أكبر)؛ فالفترة الأوسع تكون أقل دقة (أقل فائدة عملية) رغم ارتفاع مستوى الثقة المرتبط بها. لذلك ليست فترة الثقة 99% ‘أفضل’ دائمًا بشكل مطلق، بل هناك مفاضلة (trade-off) بين مستوى الثقة ودقة (ضيق) الفترة يجب مراعاتها حسب حاجة التطبيق العملي.
46. لماذا يُعدّ فهم التوزيع الطبيعي وفترات الثقة مهمًا عمليًا في مجالات مثل استطلاعات الرأي السياسية (كنسبة تأييد مرشح معين)؟
لأن استطلاعات الرأي تعتمد على عينة صغيرة نسبيًا من الناخبين للتنبؤ بنسبة التأييد الحقيقية بين كل الناخبين؛ وفهم التوزيع الطبيعي وفترات الثقة يسمح بحساب ‘هامش الخطأ’ المصاحب لنتيجة الاستطلاع (كنسبة تأييد 45% ± 3% بمستوى ثقة 95% مثلًا)، مما يعطي صورة أكثر دقة وواقعية عن مدى موثوقية النتيجة المعلنة، بدلاً من تقديم رقم واحد دون أي إشارة لعدم اليقين المحيط به.
47. درجات طلاب في اختبار موزعة طبيعيًا بوسط 70 وانحراف معياري 12. ما درجة المعيار Z لطالب حصل على 58؟
Z = (58−70)/12 = −12/12 = −1.
48. متغير عشوائي يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط μ=40 وانحراف معياري σ=5. احسب القيمة الأصلية X المقابلة لدرجة معيار Z=−1.5.
X = μ + Zσ = 40 + (−1.5)×5 = 40−7.5 = 32.5.
49. عينة من 25 قياسًا لها متوسط 90، σ=15. احسب فترة ثقة 95% لوسط المجتمع (استخدم Z=1.96)، ثم فسّر معنى الفترة الناتجة بجملة واحدة.
هامش الخطأ = 1.96×(15/√25) = 1.96×3 = 5.88. فترة الثقة = 90±5.88، أي من 84.12 إلى 95.88 تقريبًا. يعني ذلك أننا واثقون بنسبة 95% (وفق منهجية بناء الفترة على المدى الطويل) أن متوسط المجتمع الحقيقي يقع ضمن هذا المدى.
50. لماذا تُستخدم القيمة σ (الانحراف المعياري للمجتمع) في صيغة فترة الثقة الأساسية، وماذا يحدث عمليًا إذا كانت σ غير معروفة أصلًا؟
تُستخدم σ لأنها تقيس مدى تشتت المجتمع الأصلي، وهو عامل أساسي في تحديد مدى دقة تقدير متوسط العينة لمتوسط المجتمع. إذا كانت σ غير معروفة عمليًا (الحالة الأكثر شيوعًا في الواقع)، يُستعاض عنها عادة بالانحراف المعياري المحسوب من العينة نفسها (s)، مع تعديلات إضافية على طريقة الحساب (كاستخدام توزيع t بدلاً من التوزيع الطبيعي عند العينات الصغيرة).