أسئلة تدريبية
1. عرّف المتغير العشوائي المتقطع (Discrete Random Variable) بالكلمات، مع ذكر مثال بسيط عليه.
المتغير العشوائي المتقطع هو متغير يأخذ عددًا محدودًا (أو قابلاً للعد) من القيم المنفصلة كنتيجة لتجربة عشوائية، بخلاف المتغير المتصل الذي يأخذ أي قيمة ضمن مدى معين. مثال: عدد مرات ظهور الصورة عند رمي عملة 3 مرات (يمكن أن يكون 0 أو 1 أو 2 أو 3 فقط، لا قيم بينية).
2. متغير عشوائي X له التوزيع الاحتمالي التالي: P(X=0)=0.1، P(X=1)=0.3، P(X=2)=0.4، P(X=3)=0.2. تحقق من أن هذا توزيع احتمالي صحيح.
لكي يكون توزيعًا احتماليًا صحيحًا، يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات يساوي 1 بالضبط، وأن تكون كل قيمة احتمال بين 0 و1. المجموع هنا = 0.1+0.3+0.4+0.2 = 1.0، وكل القيم موجبة وأقل من أو تساوي 1، فهو توزيع احتمالي صحيح.
3. لنفس المتغير العشوائي X في السؤال السابق (القيم 0،1،2،3 باحتمالات 0.1، 0.3، 0.4، 0.2)، احسب التوقع الرياضي (المتوسط) E(X).
E(X) = Σx·P(x) = 0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 0+0.3+0.8+0.6 = 1.7.
4. لنفس المتغير العشوائي X، احسب التباين Var(X) باستخدام العلاقة Var(X)=E(X²)−[E(X)]².
E(X²) = 0²×0.1 + 1²×0.3 + 2²×0.4 + 3²×0.2 = 0+0.3+1.6+1.8 = 3.7. Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 3.7 − 1.7² = 3.7−2.89 = 0.81.
5. متغير عشوائي Y له التوزيع: P(Y=1)=0.2، P(Y=2)=0.5، P(Y=3)=0.3. احسب E(Y) وVar(Y).
E(Y) = 1×0.2+2×0.5+3×0.3 = 0.2+1+0.9 = 2.1. E(Y²) = 1×0.2+4×0.5+9×0.3 = 0.2+2+2.7 = 4.9. Var(Y) = 4.9 − 2.1² = 4.9−4.41 = 0.49.
6. متغير عشوائي Z يمثل قيم جوائز في يانصيب: P(Z=10)=0.4، P(Z=20)=0.3، P(Z=30)=0.2، P(Z=40)=0.1 (بالجنيه). احسب القيمة المتوقعة للجائزة E(Z).
E(Z) = 10×0.4+20×0.3+30×0.2+40×0.1 = 4+6+6+4 = 20 جنيهًا.
7. ما المعنى العملي للتوقع الرياضي E(X) لمتغير عشوائي؟ هل يعني بالضرورة أن هذه هي القيمة الأكثر احتمالًا لظهورها؟
التوقع الرياضي هو المتوسط الموزون طويل المدى الذي نتوقعه إذا تكررت التجربة عددًا كبيرًا جدًا من المرات؛ إنه مقياس للنزعة المركزية للتوزيع، لكنه ليس بالضرورة قيمة يمكن أن يأخذها المتغير فعليًا في تجربة واحدة، ولا يعني بالضرورة أنها القيمة الأكثر احتمالًا (المنوال)؛ فقد يكون التوقع كسريًا بينما المتغير لا يأخذ إلا قيمًا صحيحة.
8. ما الفرق بين التوقع الرياضي E(X) والتباين Var(X) من ناحية ما يقيسه كل منهما؟
يقيس التوقع الرياضي E(X) مركز (متوسط) توزيع المتغير العشوائي، بينما يقيس التباين Var(X) مدى تشتت قيم المتغير حول هذا المتوسط؛ فكلما زاد التباين، زاد تباعد القيم المحتملة عن المتوسط.
9. لعبة حظ: يدفع اللاعب 5 جنيهات للمشاركة، ثم يربح 20 جنيهًا باحتمال 0.15 أو لا يربح شيئًا باحتمال 0.85. احسب صافي الربح المتوقع للاعب (بعد خصم تكلفة المشاركة).
القيمة المتوقعة للجائزة = 20×0.15 + 0×0.85 = 3 جنيهات. صافي الربح المتوقع = القيمة المتوقعة − تكلفة المشاركة = 3 − 5 = −2 جنيه، أي أن اللاعب يخسر في المتوسط جنيهين لكل مشاركة على المدى الطويل.
10. لماذا تُعدّ الألعاب والمقامرات التي يُحسب فيها صافي الربح المتوقع للاعب سالبًا ‘غير عادلة’ إحصائيًا لصالح اللاعب على المدى الطويل؟
لأن القيمة السالبة لصافي الربح المتوقع تعني أن اللاعب سيخسر مالًا في المتوسط كلما لعب عددًا كبيرًا من المرات، حتى لو ربح أحيانًا في جلسات فردية؛ فالتكرار الكثير يُقرّب النتيجة الفعلية من التوقع الرياضي النظري (وهو سالب هنا)، مما يجعل استمرار اللعب خسارة متوقعة على المدى الطويل.
11. متغير عشوائي X له القيم 10، 20، 30، 40 باحتمالات 0.4، 0.3، 0.2، 0.1 على الترتيب. احسب E(X) وVar(X).
E(X) = 10×0.4+20×0.3+30×0.2+40×0.1 = 4+6+6+4 = 20. E(X²) = 100×0.4+400×0.3+900×0.2+1600×0.1 = 40+120+180+160 = 500. Var(X) = 500 − 20² = 500−400 = 100.
12. ما الشرط الذي يجب أن يتحقق في القيمة p (احتمال النجاح) لتجربة برنولي واحدة، ولماذا يُطلق على النتيجتين اسم ‘نجاح’ و’فشل’ حتى لو لم يكن لهما معنى إيجابي أو سلبي فعليًا؟
يجب أن يكون 0 ≤ p ≤ 1. وتُسمى النتيجتان ‘نجاح’ و’فشل’ كاصطلاح رياضي عام لتمييز إحدى النتيجتين الممكنتين فقط في تجربة ثنائية النتائج (كظهور صورة أو كتابة، معيب أو سليم)، بغض النظر عن أي دلالة قيمية حقيقية للنتيجتين في السياق الفعلي.
13. عرّف التوزيع ذي الحدين (Binomial Distribution) واذكر الشروط الأربعة اللازم توافرها لتطبيقه.
التوزيع ذو الحدين يصف عدد مرات النجاح X في n محاولة مستقلة متطابقة، كل محاولة لها احتمال نجاح ثابت p. شروطه: (1) عدد محاولات ثابت n، (2) كل محاولة لها نتيجتان فقط (نجاح/فشل)، (3) احتمال النجاح p ثابت في كل محاولة، (4) المحاولات مستقلة عن بعضها البعض.
14. رُمي حجر نرد 5 مرات مستقلة. ما احتمال ظهور الرقم 6 بالضبط مرتين من أصل الخمس رميات؟ (احتمال ظهور 6 في الرمية الواحدة = 1/6).
باستخدام قانون التوزيع ذي الحدين: P(X=2) = C(5,2)×(1/6)²×(5/6)³ = 10×(1/36)×(125/216) ≈ 10×0.02778×0.5787 ≈ 0.1608.
15. مصنع ينتج قطعًا احتمال أن تكون القطعة معيبة 0.3. أُخذت عينة من 5 قطع بشكل مستقل. ما احتمال أن تكون بالضبط قطعتان معيبتين من الخمس؟
باستخدام قانون التوزيع ذي الحدين مع n=5، p=0.3، k=2: P(X=2) = C(5,2)×(0.3)²×(0.7)³ = 10×0.09×0.343 ≈ 0.3087.
16. لاعب كرة سلة احتمال نجاحه في الرمية الحرة 0.5، ونفذ 6 رميات مستقلة. ما احتمال أن ينجح في 4 رميات بالضبط؟
باستخدام قانون التوزيع ذي الحدين مع n=6، p=0.5، k=4: P(X=4) = C(6,4)×(0.5)⁴×(0.5)² = 15×0.0625×0.25 ≈ 0.2344.
17. جهاز اختبار جودة يفحص 4 منتجات مستقلة، احتمال أن يكون كل منتج سليمًا 0.8. ما احتمال ألا يكون أي منتج من الأربعة معيبًا (أي كلها سليمة)؟
P(0 معيب من أصل 4) يُكافئ P(4 سليم من أصل 4) = C(4,4)×(0.8)⁴×(0.2)⁰ = 1×0.4096×1 = 0.4096.
18. عينة عشوائية من 10 طلاب، احتمال نجاح كل طالب في اختبار معين 0.4 بشكل مستقل. ما احتمال أن ينجح بالضبط 3 طلاب من العشرة؟
باستخدام قانون التوزيع ذي الحدين مع n=10، p=0.4، k=3: P(X=3) = C(10,3)×(0.4)³×(0.6)⁷ = 120×0.064×0.0280 ≈ 0.215.
19. متغير عشوائي X يتبع توزيعًا ذا حدين بمعلمَي n=8 وp=0.25. احسب التوقع الرياضي E(X) والتباين Var(X) باستخدام الصيغتين المباشرتين E(X)=np وVar(X)=np(1−p).
E(X) = np = 8×0.25 = 2. Var(X) = np(1−p) = 8×0.25×0.75 = 1.5.
20. لماذا يُعدّ استخدام الصيغتين المباشرتين E(X)=np وVar(X)=np(1−p) أسهل بكثير من حساب E(X) وVar(X) من تعريفهما الأساسي (بجمع كل الحدود) لتوزيع ذي حدين بقيمة n كبيرة؟
لأن الحساب المباشر من التعريف الأساسي يتطلب حساب احتمال كل قيمة ممكنة لـX من 0 إلى n على حدة ثم جمع حاصل ضربها في قيمتها (وهو عمل مرهق جدًا عندما يكون n كبيرًا)، بينما الصيغتان المباشرتان E(X)=np وVar(X)=np(1−p) تُعطيان النتيجة مباشرة من معلمتي التوزيع فقط دون أي حاجة لحساب كل الاحتمالات الفردية.
21. عرّف التوزيع الهندسي (Geometric Distribution) بالكلمات، واذكر السؤال النموذجي الذي يجيب عنه هذا التوزيع.
التوزيع الهندسي يصف عدد المحاولات المستقلة المتطابقة اللازمة حتى الحصول على أول نجاح، حيث احتمال النجاح p ثابت في كل محاولة. يجيب هذا التوزيع عادة عن سؤال من نوع: ‘كم محاولة تلزم حتى يحدث أول نجاح؟’
22. احتمال نجاح محاولة معينة (كالاتصال الناجح بخط ساخن مزدحم) 0.2 في كل مرة، والمحاولات مستقلة. ما احتمال أن يكون أول اتصال ناجح هو المحاولة الثالثة بالضبط؟
باستخدام قانون التوزيع الهندسي P(X=k)=(1−p)^(k−1)×p مع p=0.2، k=3: P(X=3) = (0.8)²×0.2 = 0.64×0.2 = 0.128.
23. في نفس مثال محاولات الاتصال (p=0.2)، ما احتمال أن ينجح الاتصال من المحاولة الأولى مباشرة؟
P(X=1) = (0.8)⁰×0.2 = 1×0.2 = 0.2 (وهذا منطقي، فاحتمال النجاح من أول محاولة هو ببساطة p نفسها).
24. رامي سهام احتمال إصابته للهدف 0.5 في كل محاولة مستقلة. ما احتمال أن تكون أول إصابة له في المحاولة الرابعة بالضبط؟
P(X=4) = (0.5)³×0.5 = 0.125×0.5 = 0.0625.
25. ما التوقع الرياضي (متوسط عدد المحاولات اللازمة للنجاح الأول) لمتغير عشوائي يتبع توزيعًا هندسيًا باحتمال نجاح p؟ احسبه لحالة p=0.25.
التوقع الرياضي للتوزيع الهندسي: E(X) = 1/p. عند p=0.25: E(X) = 1/0.25 = 4 محاولات في المتوسط.
26. ما الفرق الجوهري بين ما يقيسه التوزيع ذو الحدين وما يقيسه التوزيع الهندسي، رغم أن كليهما يعتمد على محاولات برنولي المستقلة المتكررة؟
يقيس التوزيع ذو الحدين احتمال الحصول على عدد معين من النجاحات ضمن عدد ثابت مُحدد مسبقًا من المحاولات n. أما التوزيع الهندسي فيقيس عدد المحاولات اللازمة (غير محدد مسبقًا) حتى الحصول على أول نجاح فقط، فيتوقف العد بمجرد حدوث النجاح الأول.
27. لماذا لا يمكن أن يكون المتغير العشوائي في التوزيع الهندسي أقل من 1؟
لأن X يمثل عدد المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح، وأقل عدد ممكن للمحاولات هو محاولة واحدة على الأقل (لا يمكن أن يحدث نجاح ‘قبل’ أي محاولة إطلاقًا)، فأصغر قيمة ممكنة لـX هي 1.
28. طبيب يُجري فحوصات دم متكررة ومستقلة على مريض، احتمال ظهور نتيجة إيجابية صحيحة في كل فحص 0.6. ما احتمال أن يحتاج الطبيب لأكثر من فحصين (أي يفشل الفحصان الأولان) قبل الحصول على أول نتيجة إيجابية؟
P(X>2) = P(فشل الفحصين الأولين) = (1−0.6)×(1−0.6) = 0.4×0.4 = 0.16.
29. ما المتغير العشوائي المتصل (Continuous Random Variable)؟ وكيف يختلف عن المتغير العشوائي المتقطع من ناحية القيم الممكنة؟
المتغير العشوائي المتصل هو متغير يمكن أن يأخذ أي قيمة عددية ضمن مدى (فترة) معينة، بعدد لا نهائي من القيم الممكنة نظريًا (كالطول أو الوزن أو الزمن)، بخلاف المتغير المتقطع الذي يأخذ فقط قيمًا منفصلة قابلة للعد (كعدد الأشخاص أو عدد المحاولات).
30. ما دالة كثافة الاحتمال (Probability Density Function, PDF) لمتغير عشوائي متصل؟ ولماذا لا تُمثل قيمة f(x) نفسها احتمالًا مباشرًا كما في الحالة المتقطعة؟
دالة كثافة الاحتمال هي دالة تصف التوزيع النسبي لاحتمالات المتغير المتصل عبر مداه. لا تمثل قيمة f(x) عند نقطة واحدة احتمالًا مباشرًا (فاحتمال أن يأخذ متغير متصل قيمة واحدة محددة بالضبط يساوي صفرًا نظريًا)؛ بل يُحسب الاحتمال كمساحة تحت منحنى الدالة بين حدين معينين (باستخدام التكامل).
31. لماذا يكون احتمال أن يأخذ متغير عشوائي متصل قيمة واحدة محددة بالضبط (مثل الطول = 170.0000 سم بالضبط) يساوي صفرًا نظريًا؟
لأن عدد القيم الممكنة لمتغير متصل ضمن أي فترة غير معدوم الطول هو عدد لا نهائي؛ فتوزيع الاحتمال الكلي (الذي يساوي 1) على عدد لا نهائي من النقاط يجعل احتمال أي نقطة منفردة يساوي صفرًا نظريًا، رغم أن احتمال وقوع القيمة ضمن فترة صغيرة حولها (مثل بين 169.9 و170.1) يمكن أن يكون أكبر من صفر.
32. ما الشرطان الأساسيان اللذان يجب أن تحققهما أي دالة f(x) حتى تُعتبر دالة كثافة احتمال صحيحة لمتغير عشوائي متصل؟
الشرط الأول: يجب أن تكون f(x) ≥ 0 لكل قيمة x ضمن مدى المتغير (لا يمكن أن تكون الكثافة سالبة). الشرط الثاني: يجب أن يكون التكامل الكلي لـf(x) على كامل مدى المتغير يساوي 1 بالضبط (المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، كتعبير عن أن مجموع كل الاحتمالات الممكنة يساوي 1).
33. كيف يُحسب احتمال أن يقع متغير عشوائي متصل X بين قيمتين a وb (حيث a<b) باستخدام دالة كثافة الاحتمال f(x)؟
يُحسب هذا الاحتمال بإيجاد المساحة تحت منحنى دالة الكثافة f(x) بين النقطتين a وb، وهو ما يُعبَّر عنه رياضيًا بالتكامل المحدد: P(a≤X≤b) = ∫ من a إلى b لـ f(x) dx.
34. لمتغير عشوائي متصل X موزع بانتظام (توزيع منتظم) على الفترة من 0 إلى 10، فإن دالة كثافته f(x) = 0.1 لكل x في هذه الفترة (وصفر خارجها). تحقق من أن هذه دالة كثافة احتمال صحيحة.
المساحة الكلية تحت المنحنى = طول القاعدة × الارتفاع (لأنها دالة ثابتة/مستطيلة) = 10 × 0.1 = 1، وهذا يحقق شرط أن يكون التكامل الكلي يساوي 1. كما أن f(x)=0.1 موجبة دائمًا ضمن الفترة، فتتحقق شروط دالة كثافة الاحتمال الصحيحة.
35. لنفس المتغير الموزع بانتظام على [0,10] (f(x)=0.1)، احسب احتمال أن يقع X بين 3 و7.
P(3≤X≤7) = المساحة تحت الدالة الثابتة بين 3 و7 = طول الفترة × الارتفاع = (7−3)×0.1 = 4×0.1 = 0.4.
36. لماذا لا يمكن استخدام صيغة التوزيع ذي الحدين مباشرة لوصف متغير عشوائي متصل كالطول أو الوقت؟
لأن التوزيع ذو الحدين مصمم أساسًا لمتغيرات متقطعة تُعدّ فيها عدد النجاحات كقيمة صحيحة منفصلة (0، 1، 2، …، n)؛ بينما المتغيرات المتصلة كالطول أو الوقت يمكن أن تأخذ أي قيمة كسرية ضمن مدى معين بعدد لا نهائي من الاحتمالات الممكنة، وهذا يتطلب استخدام دالة كثافة احتمال متصلة بدلاً من دالة كتلة احتمالية متقطعة.
37. متغير عشوائي متقطع X يمثل عدد الأطفال في أسرة عشوائية: P(X=0)=0.15، P(X=1)=0.25، P(X=2)=0.35، P(X=3)=0.25. احسب E(X).
E(X) = 0×0.15+1×0.25+2×0.35+3×0.25 = 0+0.25+0.7+0.75 = 1.7 طفل في المتوسط.
38. شركة تأمين تُقدّر احتمال حدوث مطالبة تأمينية على سيارة 0.1 في السنة، وقيمة المطالبة المتوقعة عند حدوثها 5000 جنيه (وإذا لم تحدث، القيمة صفر). احسب القيمة المتوقعة للمطالبات لهذه السيارة في السنة.
E(المطالبة) = 5000×0.1 + 0×0.9 = 500 جنيه في المتوسط سنويًا.
39. لماذا يُعدّ حساب القيمة المتوقعة (E(X)) أساسيًا في تسعير بوالص التأمين من قبل شركات التأمين؟
لأن شركة التأمين تحتاج لتحديد قسط تأميني كافٍ لتغطية متوسط المدفوعات المتوقعة على المدى الطويل عبر عدد كبير من حاملي البوالص، بالإضافة إلى هامش ربح وتكاليف إدارية؛ فحساب القيمة المتوقعة للمطالبات يعطي الشركة تقديرًا موضوعيًا لمتوسط ما ستدفعه فعليًا، وهو أساس تسعير القسط بشكل عادل ومستدام ماليًا.
40. لعبة يانصيب: احتمال الفوز بجائزة 100 جنيه هو 0.05، واحتمال الفوز بجائزة 500 جنيه هو 0.01، وباقي الاحتمال (0.94) لا يوجد فوز (0 جنيه). احسب القيمة المتوقعة للفوز في هذه اللعبة.
E(الفوز) = 100×0.05 + 500×0.01 + 0×0.94 = 5+5+0 = 10 جنيهات في المتوسط.
41. متغير عشوائي يتبع توزيعًا ذا حدين بمعلمَي n=12 وp=0.5 (كعدد مرات ظهور الصورة عند رمي عملة 12 مرة). احسب E(X) وVar(X).
E(X) = np = 12×0.5 = 6. Var(X) = np(1−p) = 12×0.5×0.5 = 3.
42. ما الشرط الأساسي الذي يجب توافره في احتمال النجاح p عبر كل المحاولات في التوزيع الهندسي والتوزيع ذي الحدين كليهما؟
يجب أن يكون احتمال النجاح p ثابتًا (لا يتغير) عبر جميع المحاولات المتكررة في كلا التوزيعين، بالإضافة إلى استقلال المحاولات عن بعضها البعض.
43. خط إنتاج نسبة القطع المعيبة فيه 0.05، ويُفحص القطع واحدة تلو الأخرى بشكل مستقل حتى العثور على أول قطعة معيبة. ما احتمال أن تكون أول قطعة معيبة هي القطعة الخامسة بالضبط؟
باستخدام التوزيع الهندسي مع p=0.05، k=5: P(X=5) = (0.95)⁴×0.05 ≈ 0.8145×0.05 ≈ 0.0407.
44. متغير عشوائي متصل يمثل زمن انتظار عميل في طابور خدمة، وموزع بانتظام على الفترة من 0 إلى 20 دقيقة. احسب احتمال أن ينتظر العميل أكثر من 15 دقيقة.
دالة الكثافة الثابتة f(x)=1/20=0.05 على الفترة [0,20]. P(X>15) = المساحة بين 15 و20 = (20−15)×0.05 = 5×0.05 = 0.25.
45. لماذا يُعدّ التوزيع المنتظم (Uniform Distribution) من أبسط أنواع التوزيعات الاحتمالية المتصلة من الناحية الرياضية؟
لأن دالة كثافته ثابتة (لا تتغير) عبر كامل مدى المتغير، مما يجعل حساب أي احتمال ضمن هذا المدى مجرد عملية ضرب بسيطة (طول الفترة المطلوبة × الارتفاع الثابت للدالة)، دون الحاجة لتكامل دوال أكثر تعقيدًا كما في توزيعات أخرى (كالتوزيع الطبيعي مثلًا).
46. متغير عشوائي X يمثل نتيجة رمي حجر نرد عادل مرة واحدة (القيم 1 إلى 6 متساوية الاحتمال). احسب E(X).
كل قيمة لها احتمال 1/6. E(X) = (1+2+3+4+5+6)×(1/6) = 21/6 = 3.5.
47. لنفس المتغير X (نتيجة رمي حجر نرد عادل)، احسب Var(X). (E(X²) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6)
E(X²) = 91/6 ≈ 15.167. Var(X) = E(X²) − [E(X)]² = 15.167 − 3.5² = 15.167 − 12.25 ≈ 2.917.
48. مندوب مبيعات احتمال إتمامه صفقة ناجحة مع عميل واحد 0.3 بشكل مستقل عن العملاء الآخرين. إذا قابل 5 عملاء، ما احتمال ألا ينجح في إتمام أي صفقة معهم؟
باستخدام التوزيع ذي الحدين مع n=5، p=0.3، k=0: P(X=0) = C(5,0)×(0.3)⁰×(0.7)⁵ = 1×1×0.16807 ≈ 0.168.
49. ما الفرق بين استخدام n×p لحساب متوسط عدد النجاحات في توزيع ذي حدين، واستخدام 1/p لحساب متوسط عدد المحاولات في توزيع هندسي؟ متى يُستخدم كل منهما؟
تُستخدم np عندما يكون عدد المحاولات n ثابتًا ومعروفًا مسبقًا، ونريد معرفة العدد المتوقع للنجاحات ضمنها (توزيع ذو حدين). أما 1/p فتُستخدم عندما يكون عدد المحاولات نفسه هو المتغير العشوائي غير المعروف، ونريد معرفة العدد المتوقع من المحاولات اللازمة حتى نحصل على أول نجاح (توزيع هندسي).
50. متغير عشوائي متصل يمثل وزن كيس أرز يُفترض أن يكون 25 كجم بالضبط، لكنه يتوزع بانتظام تقريبًا بين 24.8 و25.2 كجم. احسب احتمال أن يكون وزن كيس عشوائي أقل من 25 كجم.
طول الفترة الكلية = 25.2−24.8 = 0.4، فدالة الكثافة الثابتة = 1/0.4 = 2.5. احتمال الوزن أقل من 25: طول الفترة من 24.8 إلى 25 = 0.2. P(X<25) = 0.2×2.5 = 0.5 (وهذا منطقي لأن 25 تقع بالضبط في منتصف الفترة المتماثلة).