أسئلة تدريبية
1. صندوق به 5 كرات حمراء و3 كرات زرقاء و2 كرة خضراء. سُحبت كرة عشوائيًا. ما احتمال أن تكون الكرة حمراء؟
عدد الكرات الكلي = 5+3+2 = 10. احتمال الحمراء = عدد الكرات الحمراء / العدد الكلي = 5/10 = 0.5.
2. في تجربة رمي حجر نرد منتظم مرة واحدة، ما احتمال ظهور عدد زوجي؟
الأعداد الزوجية الممكنة: 2، 4، 6 (3 نتائج من أصل 6). الاحتمال = 3/6 = 0.5.
3. في تجربة رمي عملة معدنية مرتين متتاليتين، ما احتمال ظهور صورة (H) في المرتين معًا؟
فضاء العينة الكلي = {HH, HT, TH, TT}، 4 نتائج متساوية الاحتمال. احتمال HH = 1/4.
4. من مجموعة أوراق لعب عادية (52 ورقة)، سُحبت ورقة عشوائيًا. ما احتمال أن تكون الورقة ملكًا (King)؟
عدد الملوك في المجموعة = 4 (واحد لكل نوع). الاحتمال = 4/52 = 1/13 ≈ 0.077.
5. إذا كان احتمال نجاح مشروع معين 0.65، فما احتمال فشله؟
باستخدام قاعدة المتمم: احتمال الفشل = 1 − احتمال النجاح = 1 − 0.65 = 0.35.
6. صندوق به 4 كرات حمراء و6 كرات صفراء. سُحبت كرة واحدة عشوائيًا. ما احتمال ألا تكون الكرة حمراء؟
احتمال الحمراء = 4/10 = 0.4. احتمال ألا تكون حمراء (المتمم) = 1 − 0.4 = 0.6 (أو مباشرة: 6/10 = 0.6).
7. حدثان A وB متنافيان تمامًا (لا يمكن حدوثهما معًا)، احتمال كل منهما P(A)=0.3 وP(B)=0.45. احسب احتمال وقوع A أو B.
لأن الحدثين متنافيان، فإن التقاطع بينهما صفر: P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.45 = 0.75.
8. حدثان A وB غير متنافيين (يمكن حدوثهما معًا)، P(A)=0.5، P(B)=0.4، P(A∩B)=0.2. احسب احتمال وقوع A أو B.
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
9. لماذا يجب طرح احتمال التقاطع P(A∩B) عند حساب احتمال اتحاد حدثين غير متنافيين، بخلاف الحدثين المتنافيين؟
لأن الحالات المشتركة بين A وB (أي وقوعهما معًا) تُحسب مرتين إذا جُمع P(A) وP(B) مباشرة دون طرح؛ فطرح P(A∩B) يُصحح هذا التكرار المزدوج. أما في الحدثين المتنافيين، فلا توجد أي حالات مشتركة أصلًا (P(A∩B)=0)، فلا حاجة للطرح.
10. في تجربة سحب ورقة واحدة من مجموعة 52 ورقة لعب، ما احتمال أن تكون الورقة إما ملكًا (King) أو ورقة قلوب (Hearts)؟
P(ملك) = 4/52، P(قلوب) = 13/52، P(ملك قلوب تحديدًا، وهو التقاطع) = 1/52. P(ملك أو قلوب) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13 ≈ 0.308.
11. ما مدى قيم الاحتمال الممكنة لأي حدث؟ وماذا تعني القيمتان الحديتان 0 و1؟
يتراوح احتمال أي حدث بين 0 و1 شاملتين. الاحتمال 0 يعني أن الحدث مستحيل الوقوع، والاحتمال 1 يعني أن الحدث مؤكد الوقوع بالضرورة.
12. صندوق به 3 كرات حمراء و2 كرة زرقاء و5 كرات صفراء. سُحبت كرة واحدة. ما احتمال أن تكون حمراء أو زرقاء (وليست صفراء)؟
احتمال الحمراء = 3/10، احتمال الزرقاء = 2/10 (متنافيان، لا يمكن أن تكون الكرة الواحدة حمراء وزرقاء معًا). P(حمراء أو زرقاء) = 3/10 + 2/10 = 5/10 = 0.5. (يمكن التحقق أيضًا كمتمم للصفراء: 1−5/10=0.5).
13. في مجموعة من 30 طالبًا، 18 طالبًا يدرسون الفرنسية و12 يدرسون الألمانية و6 يدرسون اللغتين معًا. ما احتمال اختيار طالب عشوائيًا يدرس الفرنسية أو الألمانية (أو كلتيهما)؟
P(فرنسية) = 18/30، P(ألمانية) = 12/30، P(كلتيهما) = 6/30. P(فرنسية أو ألمانية) = 18/30 + 12/30 − 6/30 = 24/30 = 0.8.
14. ما الفرق بين الأحداث المتنافية (mutually exclusive) وفضاء العينة (sample space) لتجربة عشوائية؟
فضاء العينة هو مجموعة كل النتائج الممكنة للتجربة العشوائية بأكملها. أما الأحداث المتنافية فهي أحداث فرعية (مجموعات جزئية من فضاء العينة) لا يمكن أن تقع معًا في نفس التجربة الواحدة (لا يوجد تقاطع بينها).
15. لماذا يجب أن يكون مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة المتنافية والمُستوعبة بالكامل لتجربة عشوائية واحدة يساوي 1 بالضبط؟
لأن فضاء العينة يُمثل كل النتائج الممكنة للتجربة بأكملها (حدث مؤكد الوقوع باحتمال 1)، وبما أن هذه النتائج متنافية فيما بينها (لا تتداخل)، فإن مجموع احتمالاتها الفردية يجب أن يساوي احتمال وقوع أي نتيجة منها على الإطلاق، وهو 1.
16. سُحبت ورقتان من مجموعة 52 ورقة لعب بدون إرجاع الأولى. ما احتمال أن تكون كلتاهما ملكين (King)؟
احتمال الملك الأول = 4/52. بعد سحبه بدون إرجاع، يتبقى 3 ملوك من أصل 51 ورقة، فاحتمال الملك الثاني = 3/51. احتمال الحدثين معًا = (4/52)×(3/51) = 12/2652 ≈ 0.0045.
17. ما احتمال حدث مستحيل الوقوع تمامًا؟ اذكر مثالًا على حدث مستحيل في تجربة رمي حجر نرد عادي (6 أوجه مرقمة من 1 إلى 6).
احتمال الحدث المستحيل يساوي صفرًا دائمًا. مثال: ظهور الرقم 7 عند رمي حجر نرد عادي مرقم من 1 إلى 6، فهذه نتيجة غير موجودة أصلًا في فضاء العينة.
18. عرّف الاحتمال الشرطي P(A|B) بالكلمات، ثم اكتب الصيغة الرياضية له بدلالة P(A∩B) وP(B).
الاحتمال الشرطي P(A|B) هو احتمال وقوع الحدث A بمعلومية أن الحدث B قد وقع فعلًا (أي بعد تقييد فضاء العينة إلى الحالات التي تحقق B فقط). الصيغة: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)، بشرط P(B) ≠ 0.
19. في صندوق 10 كرات: 6 حمراء و4 زرقاء. سُحبت كرتان بدون إرجاع. إذا عُلم أن الكرة الأولى كانت حمراء، ما احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء؟
بعد سحب كرة حمراء أولًا، يتبقى 9 كرات: 5 حمراء و4 زرقاء. احتمال الكرة الثانية زرقاء (شرطي على أن الأولى حمراء) = 4/9 ≈ 0.444.
20. في مجموعة 40 موظفًا: 25 ذكرًا و15 أنثى، منهم 10 ذكور و8 إناث حاصلون على شهادة ماجستير. إذا اختير موظف عشوائيًا وعُلم أنه ذكر، ما احتمال أن يكون حاصلًا على ماجستير؟
P(ماجستير | ذكر) = عدد الذكور الحاصلين على ماجستير / عدد الذكور الكلي = 10/25 = 0.4.
21. في نفس مجموعة الموظفين السابقة (40 موظفًا، 10 ذكور و8 إناث حاصلون على ماجستير)، إذا عُلم أن الموظف حاصل على ماجستير، ما احتمال أن يكون أنثى؟
إجمالي الحاصلين على ماجستير = 10+8 = 18. P(أنثى | ماجستير) = عدد الإناث الحاصلات على ماجستير / إجمالي الحاصلين على ماجستير = 8/18 = 4/9 ≈ 0.444.
22. ما الفرق الجوهري بين P(A|B) وP(B|A)؟ هل هما متساويان دائمًا؟
P(A|B) هو احتمال A بشرط وقوع B، بينما P(B|A) هو احتمال B بشرط وقوع A — وهما بشكل عام قيمتان مختلفتان (ليستا متساويتين بالضرورة)، إلا في حالات خاصة معينة تعتمد على احتمالات A وB الأصلية (الحديّة).
23. جدول توافقي: من بين 100 شخص، 60 مدخن و40 غير مدخن. من بين المدخنين، 24 مصابون بمرض تنفسي. من بين غير المدخنين، 8 مصابون بنفس المرض. ما احتمال أن يكون الشخص مصابًا بالمرض بشرط أنه مدخن؟
P(مصاب | مدخن) = عدد المدخنين المصابين / عدد المدخنين الكلي = 24/60 = 0.4.
24. في نفس بيانات السؤال السابق (100 شخص، 60 مدخن منهم 24 مصاب، 40 غير مدخن منهم 8 مصاب)، ما احتمال أن يكون الشخص مصابًا بالمرض بشرط أنه غير مدخن؟
P(مصاب | غير مدخن) = 8/40 = 0.2. (ملاحظة: هذا الفرق الكبير بين الاحتمالين الشرطيين — 0.4 مقابل 0.2 — يُشير إلى وجود علاقة قوية بين التدخين والإصابة بالمرض في هذه البيانات.)
25. لماذا يُستخدم الجدول التوافقي (Contingency Table) بشكل شائع لحساب الاحتمالات الشرطية عمليًا؟
لأن الجدول التوافقي يُنظّم بيانات متغيرين تصنيفيين معًا في صفوف وأعمدة، مما يجعل حساب أي احتمال شرطي (كنسبة عدد الحالات المشتركة إلى عدد الحالات الكلية لأحد الشرطين) عملية مباشرة وواضحة بمجرد قراءة الأرقام من الجدول.
26. صندوق به 5 كرات حمراء و7 كرات زرقاء. سُحبت كرتان على التوالي بدون إرجاع. ما احتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء بشرط أن الكرة الأولى كانت زرقاء أيضًا؟
بعد سحب كرة زرقاء أولًا، يتبقى 11 كرة: 5 حمراء و6 زرقاء. P(الثانية زرقاء | الأولى زرقاء) = 6/11 ≈ 0.545.
27. ما معنى أن P(A|B) = P(A) لحدثين A وB؟
يعني ذلك أن معرفة وقوع B لم تُغيّر شيئًا من احتمال وقوع A؛ أي أن الحدثين A وB مستقلان إحصائيًا (لا يؤثر أحدهما على احتمال الآخر).
28. عرّف الأحداث المستقلة إحصائيًا (Independent Events)، واكتب الصيغة الرياضية لاختبار الاستقلالية.
حدثان A وB مستقلان إذا كان وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر. الصيغة الرياضية لاختبار ذلك: A وB مستقلان إذا وفقط إذا كان P(A∩B) = P(A) × P(B).
29. عملة معدنية عادلة تُرمى مرتين. هل نتيجة الرمية الأولى وحدث ظهور صورة في الرمية الثانية مستقلان إحصائيًا؟ فسّر.
نعم، مستقلان تمامًا؛ لأن نتيجة رمية العملة الأولى لا تؤثر إطلاقًا على احتمال ظهور صورة في الرمية الثانية (كل رمية مستقلة فيزيائيًا عن الأخرى، والعملة لا ‘تتذكر’ نتيجتها السابقة).
30. حدثان A وB مستقلان، P(A)=0.4 وP(B)=0.5. احسب P(A∩B).
بما أن الحدثين مستقلان: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2.
31. مصنعان مستقلان لإنتاج قطع غيار، احتمال أن تكون القطعة معيبة من المصنع الأول 0.02، ومن المصنع الثاني 0.03. إذا اختيرت قطعة عشوائية من كل مصنع، ما احتمال أن تكون كلتا القطعتين معيبتين؟
بافتراض استقلال جودة إنتاج المصنعين عن بعضهما: P(كلتاهما معيبة) = 0.02 × 0.03 = 0.0006.
32. رامي سهام يصيب الهدف باحتمال 0.7 في كل محاولة مستقلة عن المحاولات الأخرى. ما احتمال أن يصيب الهدف في محاولتين متتاليتين؟
P(إصابة في المحاولتين) = 0.7 × 0.7 = 0.49.
33. في نفس مثال رامي السهام (احتمال الإصابة 0.7 في كل محاولة مستقلة)، ما احتمال أن يخطئ الهدف في المحاولتين معًا؟
احتمال الخطأ في المحاولة الواحدة = 1−0.7 = 0.3. باستقلال المحاولتين: P(خطأ في المحاولتين) = 0.3 × 0.3 = 0.09.
34. ما الفرق الجوهري بين مفهومَي ‘الأحداث المستقلة’ و’الأحداث المتنافية’؟ هل يمكن أن يكون حدثان مستقلين ومتنافيين في نفس الوقت (وكلاهما له احتمال أكبر من الصفر)؟
الأحداث المستقلة هي التي لا يؤثر وقوع أحدها على احتمال وقوع الآخر، بينما الأحداث المتنافية هي التي لا يمكن أن تقع معًا إطلاقًا. لا يمكن أن يكون حدثان مستقلين ومتنافيين معًا إذا كان لكل منهما احتمال أكبر من الصفر؛ لأن التنافي يعني P(A∩B)=0، بينما الاستقلال يتطلب P(A∩B)=P(A)×P(B)>0 (بما أن كلا الاحتمالين أكبر من صفر)، وهذا تناقض.
35. جهاز إنذار حريق احتمال عمله بنجاح عند وقوع حريق 0.95، مستقل تمامًا عن جهاز إنذار احتياطي احتماله 0.9. ما احتمال ألا يعمل أي من الجهازين عند وقوع حريق؟
احتمال فشل الجهاز الأول = 1−0.95 = 0.05. احتمال فشل الجهاز الثاني = 1−0.9 = 0.1. باستقلال الجهازين: P(فشل كلاهما) = 0.05 × 0.1 = 0.005.
36. في السؤال السابق (جهازا إنذار مستقلان، احتمال فشل كل منهما 0.05 و0.1 على التوالي)، ما احتمال أن يعمل جهاز واحد على الأقل عند وقوع حريق؟
P(عمل واحد على الأقل) = 1 − P(فشل كلاهما) = 1 − 0.005 = 0.995. (هذا يوضح الفائدة العملية من استخدام أنظمة احتياطية مستقلة: احتمال فشلهما معًا يصبح صغيرًا جدًا.)
37. لماذا يُفضَّل استخدام أنظمة احتياطية مستقلة (كجهازي إنذار حريق مستقلين) في التطبيقات الحرجة (كالسلامة)؟
لأن استقلال الأنظمة يعني أن احتمال فشل جميعها معًا يساوي حاصل ضرب احتمالات فشل كل منها على حدة، وهو رقم صغير جدًا مقارنة باحتمال فشل نظام واحد بمفرده؛ فيزداد الاعتماد الكلي على النظام بشكل كبير بمجرد إضافة نسخة احتياطية مستقلة، حتى لو كانت كل نسخة منفردة أقل موثوقية.
38. كيف يمكن اختبار ما إذا كان حدثان مستقلين عمليًا من بيانات جدول توافقي، باستخدام مفهوم الاحتمال الشرطي؟
يمكن حساب P(A|B) ومقارنتها بـ P(A) الحدّي (غير المشروط)؛ فإذا كانت القيمتان متساويتين تقريبًا (P(A|B) ≈ P(A))، فهذا يشير إلى استقلال الحدثين. أما إذا اختلفت القيمتان بشكل ملحوظ، فهذا يدل على وجود علاقة (اعتماد) بين الحدثين وليسا مستقلين.
39. مريض يخضع لفحصين طبيين مستقلين للكشف عن مرض معين، احتمال اكتشاف الفحص الأول للمرض (إذا كان موجودًا فعلًا) 0.85، والثاني 0.8. ما احتمال أن يفشل كلا الفحصين في اكتشاف المرض رغم وجوده؟
احتمال فشل الفحص الأول = 1−0.85 = 0.15. احتمال فشل الفحص الثاني = 1−0.8 = 0.2. باستقلال الفحصين: P(فشل كليهما) = 0.15 × 0.2 = 0.03.
40. سُحبت كرة من صندوق به 4 كرات حمراء و6 زرقاء، ثم أُعيدت الكرة إلى الصندوق قبل سحب كرة ثانية. ما احتمال أن تكون الكرتان كلتاهما حمراوين؟ ولماذا يُعامل هذا كحدثين مستقلين؟
بما أن الكرة أُعيدت للصندوق قبل السحب الثاني، فإن تركيبة الصندوق (نسبة الكرات) تعود كما كانت تمامًا، فلا يؤثر ناتج السحب الأول على احتمالات السحب الثاني؛ لذا يُعامَلان كحدثين مستقلين: P(حمراء وحمراء) = (4/10)×(4/10) = 16/100 = 0.16.
41. ما تأثير ‘السحب بدون إرجاع’ على استقلالية حدثين متتاليين (كسحب كرتين من نفس الصندوق)، مقارنة بـ’السحب مع الإرجاع’؟
في السحب مع الإرجاع، تبقى تركيبة الصندوق كما هي بين السحبتين، فيكون الحدثان مستقلين. أما في السحب بدون إرجاع، فإن نتيجة السحب الأول تُغيّر فعليًا تركيبة الصندوق المتبقي (يقل عدد كرات لون معين)، مما يجعل احتمال السحب الثاني معتمدًا على نتيجة الأول (غير مستقل)، ويستوجب استخدام الاحتمال الشرطي بدلاً من الضرب المباشر.
42. مصنع لديه خطان إنتاج مستقلان (A وB)، احتمال توقف الخط A عن العمل في يوم معين 0.05، واحتمال توقف الخط B 0.04. ما احتمال أن يعمل كلا الخطين بدون توقف في نفس اليوم؟
احتمال عمل A = 1−0.05 = 0.95. احتمال عمل B = 1−0.04 = 0.96. باستقلال الخطين: P(عمل كلاهما) = 0.95 × 0.96 = 0.912.
43. ثلاثة أحداث مستقلة عن بعضها البعض تمامًا A وB وC، احتمالاتها 0.5 و0.6 و0.8 على الترتيب. احسب احتمال وقوع الأحداث الثلاثة معًا.
لأن الأحداث الثلاثة مستقلة عن بعضها البعض بالكامل: P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = 0.5×0.6×0.8 = 0.24.
44. لاعب كرة سلة نسبة نجاحه في رمية حرة واحدة 0.75، وكل رمية مستقلة عن الأخرى. ما احتمال أن ينجح في 3 رميات متتالية؟
P(نجاح في الرميات الثلاث) = 0.75 × 0.75 × 0.75 = 0.75³ = 0.421875 ≈ 0.422.
45. في نفس مثال لاعب كرة السلة (احتمال النجاح 0.75 في كل رمية مستقلة)، ما احتمال أن يفشل في الرميات الثلاث كلها؟
احتمال الفشل في الرمية الواحدة = 1−0.75 = 0.25. باستقلال الرميات: P(فشل في الثلاث) = 0.25³ = 0.015625 ≈ 0.016.
46. لماذا يُعدّ التمييز بين ‘الاحتمال الشرطي’ و’الاحتمال غير المشروط (الحدّي)’ مهمًا عمليًا عند تفسير الإحصاءات الطبية، مثل نتائج فحص مرض معين؟
لأن الخلط بينهما قد يؤدي إلى تفسيرات خاطئة تمامًا؛ فمثلًا احتمال إيجابية الفحص بشرط الإصابة الفعلية بالمرض P(فحص إيجابي | مصاب) يختلف جوهريًا عن احتمال الإصابة الفعلية بشرط إيجابية نتيجة الفحص P(مصاب | فحص إيجابي)، وقد تكون القيمتان متباعدتين جدًا خاصة إذا كان المرض نادرًا في المجتمع، مما يجعل الخلط بينهما مضللًا بشدة للمريض أو الطبيب.
47. كيس به 8 كرات مرقمة من 1 إلى 8. سُحبت كرة عشوائيًا. ما احتمال أن يكون الرقم أوليًا (2، 3، 5، أو 7)؟
الأعداد الأولية في هذا المدى: 2، 3، 5، 7 (4 أعداد من أصل 8). الاحتمال = 4/8 = 0.5.
48. حدثان A وB، P(A)=0.6، P(A∩B)=0.24، والحدثان مستقلان. احسب P(B).
بما أن الحدثين مستقلان: P(A∩B) = P(A)×P(B) → 0.24 = 0.6×P(B) → P(B) = 0.24/0.6 = 0.4.
49. استبيان لعينة من 50 شخصًا: 30 يفضلون الشاي، 20 يفضلون القهوة، ولا أحد يفضل كليهما أو لا شيء (تصنيف حصري). ما احتمال أن يفضل شخص عشوائي أحد المشروبين (أيهما كان)؟
بما أن التصنيف يغطي كل العينة حصريًا: P(شاي أو قهوة) = 30/50 + 20/50 = 50/50 = 1 (حدث مؤكد، لأن كل فرد في العينة اختار أحد المشروبين بالضرورة).
50. لماذا تُعدّ معرفة ما إذا كان حدثان مستقلين أم لا معلومة مهمة عمليًا عند حساب احتمال وقوعهما معًا؟
لأن طريقة الحساب تختلف جوهريًا: إذا كانا مستقلين، يُحسب احتمال وقوعهما معًا بضرب احتماليهما الحديين مباشرة (P(A)×P(B))؛ أما إذا لم يكونا مستقلين، فيجب استخدام الاحتمال الشرطي (P(A)×P(B|A)) بدلاً من ذلك، وقد يعطي الضرب المباشر الخاطئ نتيجة غير صحيحة تمامًا إذا تم تجاهل عدم الاستقلال.