أسئلة تدريبية
1. ما فكرة تمثيل البيانات بطريقة ‘الساق والأوراق’ (Stem-and-Leaf)؟ وما الميزة الأساسية لهذه الطريقة مقارنة بالجدول التكراري العادي؟
في هذه الطريقة، يُقسَّم كل رقم إلى جزأين: ‘الساق’ (الخانات الأعلى قيمة، كخانة العشرات) و’الورقة’ (الخانة الأخيرة، كخانة الآحاد)، وتُرتَّب الأوراق بجانب كل ساق. ميزتها الأساسية أنها تُنظّم البيانات في هيئة أشبه بجدول تكراري ورسم بياني في آن واحد، مع الاحتفاظ بكل القيم الأصلية الفردية للبيانات دون فقدها في التجميع، بخلاف الجدول التكراري العادي الذي يُلخّص البيانات في فئات فيفقد تفاصيلها الفردية.
2. درجات 11 طالبًا: 58، 62، 64، 68، 72، 75، 77، 80، 85، 90، 95. ارسم مخطط الساق والأوراق لهذه البيانات (استخدم العشرات كساق).
الساق 5 | الأوراق: 8 — الساق 6 | الأوراق: 2, 4, 8 — الساق 7 | الأوراق: 2, 5, 7 — الساق 8 | الأوراق: 0, 5 — الساق 9 | الأوراق: 0, 5.
3. في مخطط ساق وأوراق، الساق ‘3’ له الأوراق: 1، 4، 4، 7، 9. ما القيم الأصلية التي يمثلها هذا الصف؟ وكم عدد القيم فيه؟
القيم الأصلية هي: 31، 34، 34، 37، 39. عدد القيم في هذا الصف هو 5 قيم.
4. درجات حرارة 10 أيام مرتبة تصاعديًا: 25، 26، 27، 28، 29، 30، 31، 32، 33، 34. ارسم مخطط الساق والأوراق لها (استخدم العشرات كساق).
الساق 2 | الأوراق: 5, 6, 7, 8, 9 — الساق 3 | الأوراق: 0, 1, 2, 3, 4.
5. كيف يمكن قراءة القيمة الصغرى والقيمة الكبرى لمجموعة بيانات مباشرة من مخطط الساق والأوراق؟
القيمة الصغرى تكون هي أصغر ورقة في أدنى ساق (أعلى المخطط)، والقيمة الكبرى هي أكبر ورقة في أعلى ساق (أسفل المخطط)، بشرط أن يكون المخطط مرتبًا ترتيبًا تصاعديًا للأوراق ضمن كل ساق.
6. في مخطط ساق وأوراق لدرجات طلاب، الساق ‘7’ يحتوي على أكبر عدد من الأوراق مقارنة بباقي الصفوف. ماذا يدل ذلك على شكل توزيع الدرجات؟
يدل ذلك على أن أكبر عدد من الطلاب حصل على درجات تقع في الفئة العشرية السبعينية (70 إلى 79)، أي أن منوال (المدى الأكثر تكرارًا) البيانات يقع في هذه الفئة تقريبًا.
7. ما الفرق الجوهري بين مخطط الساق والأوراق والمدرج التكراري (histogram) من ناحية المعلومات المحتفظ بها عن البيانات الأصلية؟
يحتفظ مخطط الساق والأوراق بجميع القيم الأصلية للبيانات (يمكن استرجاعها بالضبط من المخطط)، بينما يُظهر المدرج التكراري فقط عدد القيم في كل فئة (تكرار الفئة) دون الاحتفاظ بالقيم الفردية داخل كل فئة.
8. مخطط ساق وأوراق: الساق 4|الأوراق 2,5,5,8 — الساق 5|الأوراق 0,3,3,3,7 — الساق 6|الأوراق 1,4. ما القيمة الأكثر تكرارًا (المنوال) في هذه البيانات؟
القيمة 53 تكررت 3 مرات (أكثر من أي قيمة أخرى في المخطط)، فهي المنوال.
9. مخطط ساق وأوراق مزدوج (back-to-back) يُستخدم لمقارنة توزيعين لمجموعتي بيانات مختلفتين. صف الفكرة الأساسية لهذا النوع من المخططات.
في المخطط المزدوج، يوضع عمود ساق واحد في المنتصف، وتُكتب أوراق المجموعة الأولى على يمينه وأوراق المجموعة الثانية على يساره (أو العكس)، مما يسمح بمقارنة بصرية مباشرة بين توزيعي المجموعتين على نفس المخطط.
10. ما عيب مخطط الساق والأوراق عند التعامل مع مجموعة بيانات كبيرة جدًا (آلاف القيم)؟
يصبح المخطط كبيرًا جدًا وغير عملي عندما يكون عدد القيم كبيرًا جدًا، إذ يتطلب كتابة كل قيمة فردية كورقة، مما يجعله مزدحمًا وصعب القراءة؛ في هذه الحالة يُفضَّل استخدام جدول تكراري أو مدرج تكراري يُلخّص البيانات في فئات بدلاً من عرض كل قيمة على حدة.
11. عرّف الرباعي الأول (Q1) والرباعي الثاني (Q2) والرباعي الثالث (Q3) لمجموعة بيانات مرتبة تصاعديًا.
الرباعي الثاني Q2 هو الوسيط، يقسم البيانات المرتبة إلى نصفين متساويين تقريبًا. الرباعي الأول Q1 هو القيمة التي يقع دونها ربع البيانات تقريبًا (وسيط النصف الأدنى). الرباعي الثالث Q3 هو القيمة التي يقع دونها ثلاثة أرباع البيانات تقريبًا (وسيط النصف الأعلى).
12. درجات 11 طالبًا مرتبة: 58، 62، 64، 68، 72، 75، 77، 80، 85، 90، 95. احسب الرباعي الأول Q1 والرباعي الثالث Q3 (استخدم موضع (n+1)k/4).
n=11. موضع Q1 = (11+1)×1/4 = 3، فتكون Q1 = القيمة الثالثة = 64. موضع Q3 = (11+1)×3/4 = 9، فتكون Q3 = القيمة التاسعة = 85.
13. درجات حرارة 10 أيام مرتبة: 25، 26، 27، 28، 29، 30، 31، 32، 33، 34. احسب Q1 وQ2 وQ3.
n=10. موضع Q1=(10+1)×1/4=2.75، فتكون Q1 بين القيمة الثانية (26) والثالثة (27) بنسبة 0.75: Q1=26+0.75×(27−26)=26.75. موضع Q2=(11)×2/4=5.5، فتكون Q2=29+0.5×(30−29)=29.5. موضع Q3=(11)×3/4=8.25، فتكون Q3=32+0.25×(33−32)=32.25.
14. أعمار 12 طالبًا مرتبة: 15، 15، 16، 16، 16، 17، 17، 17، 18، 18، 19، 20. احسب Q1 وQ2 وQ3.
n=12. موضع Q1=(13)×1/4=3.25، فتكون Q1 بين القيمة الثالثة (16) والرابعة (16) بنسبة 0.25: Q1=16+0.25×(16−16)=16. موضع Q2=(13)×2/4=6.5، فتكون Q2=17+0.5×(17−17)=17. موضع Q3=(13)×3/4=9.75، فتكون Q3=18+0.75×(18−18)=18.
15. مبيعات أسبوعية لمتجر عبر 10 أسابيع مرتبة: 105، 110، 115، 120، 125، 135، 145، 150، 155، 160. احسب الرباعي الأول والرباعي الثالث.
n=10. موضع Q1=(11)×1/4=2.75، فتكون Q1=110+0.75×(115−110)=113.75. موضع Q3=(11)×3/4=8.25، فتكون Q3=150+0.25×(155−150)=151.25.
16. ما الفرق بين الرباعي الثاني (Q2) والوسيط العادي لمجموعة بيانات؟
لا يوجد فرق؛ الرباعي الثاني Q2 هو نفسه الوسيط تمامًا لأي مجموعة بيانات مرتبة، فكلاهما يقسم البيانات إلى نصفين متساويين تقريبًا في العدد.
17. لماذا يجب ترتيب البيانات تصاعديًا قبل حساب الرباعيات أو الوسيط؟
لأن حساب الرباعيات والوسيط يعتمد بالكامل على موضع (ترتيب) القيمة داخل البيانات المرتبة؛ فبدون الترتيب التصاعدي، لن يكون للمواضع المحسوبة (كموضع Q1 أو Q2) أي معنى صحيح، وستكون النتائج خاطئة تمامًا.
18. ما نسبة البيانات التي تقع (تقريبًا) بين الرباعي الأول والرباعي الثالث لأي مجموعة بيانات؟
تقع نحو 50% من البيانات (النصف الأوسط تقريبًا) بين الرباعي الأول Q1 والرباعي الثالث Q3.
19. درجات 11 طالبًا (58 إلى 95 كما في سؤال سابق) أعطت Q1=64، Q2=75، Q3=85. هل هذا التوزيع متماثل تقريبًا حول الوسيط أم منحرف؟ فسّر بمقارنة المسافتين (Q2−Q1) و(Q3−Q2).
Q2−Q1 = 75−64 = 11، وQ3−Q2 = 85−75 = 10. المسافتان متقاربتان جدًا (11 مقابل 10)، مما يدل على أن التوزيع متماثل تقريبًا حول الوسيط في هذا النطاق الأوسط من البيانات، دون انحراف واضح لأي جهة.
20. ما هو صندوق ويسكر (Box Plot) وما العناصر الخمسة الأساسية التي يُلخّصها عادة؟
صندوق ويسكر هو تمثيل بياني يُلخّص توزيع البيانات باستخدام خمس قيم أساسية: القيمة الصغرى، الرباعي الأول (Q1)، الوسيط (Q2)، الرباعي الثالث (Q3)، والقيمة الكبرى؛ ويُرسم كصندوق يمتد من Q1 إلى Q3 مع خط عند الوسيط، وخطوط ممتدة (شوارب) نحو القيمتين الصغرى والكبرى.
21. مجموعة بيانات لها صندوق ويسكر يبدو فيه الجزء من Q1 إلى الوسيط أطول بكثير من الجزء من الوسيط إلى Q3. ماذا يدل ذلك على شكل توزيع البيانات؟
يدل ذلك على أن البيانات في النصف الأدنى (بين Q1 والوسيط) أكثر تشتتًا من البيانات في النصف الأعلى (بين الوسيط وQ3)، وهو مؤشر على احتمال وجود انحراف (تفلطح) في توزيع البيانات نحو القيم المنخفضة.
22. كيف يُستخدم صندوق ويسكر للكشف بصريًا عن وجود قيم متطرفة (outliers) محتملة في البيانات؟
تُظهر بعض إصدارات صندوق ويسكر نقاطًا منفصلة تقع بعيدًا جدًا عن نهايتي الشوارب (عادة أبعد من 1.5 مثل المدى الربيعي IQR عن Q1 أو Q3)؛ وهذه النقاط المعزولة تُعامل كقيم متطرفة محتملة تستحق فحصًا إضافيًا.
23. عرّف المدى الربيعي (Interquartile Range, IQR) وكيف يُحسب من الرباعيات؟
المدى الربيعي هو الفرق بين الرباعي الثالث والرباعي الأول: IQR = Q3 − Q1، ويقيس مدى تشتت النصف الأوسط من البيانات (حوالي 50% من البيانات الوسطى).
24. عرّف نصف المدى الربيعي (Semi-Interquartile Range) وكيف يرتبط بالمدى الربيعي؟
نصف المدى الربيعي هو نصف قيمة المدى الربيعي: نصف المدى الربيعي = (Q3−Q1)/2، ويُستخدم أحيانًا كمقياس بديل للتشتت مرتبط بالوسيط، مشابه من حيث الفكرة للانحراف المعياري المرتبط بالمتوسط الحسابي.
25. درجات 11 طالبًا أعطت Q1=64 وQ3=85. احسب المدى الربيعي ونصف المدى الربيعي.
المدى الربيعي = Q3−Q1 = 85−64 = 21. نصف المدى الربيعي = 21/2 = 10.5.
26. درجات حرارة 10 أيام أعطت Q1=26.75 وQ3=32.25. احسب المدى الربيعي ونصف المدى الربيعي.
المدى الربيعي = 32.25−26.75 = 5.5. نصف المدى الربيعي = 5.5/2 = 2.75.
27. أعمار 12 طالبًا أعطت Q1=16 وQ3=18. احسب المدى الربيعي ونصف المدى الربيعي.
المدى الربيعي = 18−16 = 2. نصف المدى الربيعي = 2/2 = 1.
28. مبيعات أسبوعية أعطت Q1=113.75 وQ3=151.25. احسب المدى الربيعي ونصف المدى الربيعي.
المدى الربيعي = 151.25−113.75 = 37.5. نصف المدى الربيعي = 37.5/2 = 18.75.
29. لماذا يُعدّ نصف المدى الربيعي مقياس تشتت أكثر مقاومة (robust) للقيم المتطرفة مقارنة بالمدى الكلي (الفرق بين القيمة الكبرى والصغرى)؟
لأن نصف المدى الربيعي يعتمد فقط على الرباعيين Q1 وQ3، وهما موضعان داخل البيانات (ليسا القيمة الصغرى أو الكبرى)، فلا تؤثر عليهما القيم المتطرفة الشديدة الموجودة عند طرفي البيانات بشكل مباشر. أما المدى الكلي فيعتمد تمامًا على القيمتين الصغرى والكبرى، وهما الأكثر تأثرًا بأي قيمة متطرفة.
30. مجموعتا بيانات لهما نفس الوسيط بالضبط، لكن الأولى لها نصف مدى ربيعي أكبر من الثانية. ماذا يدل ذلك على تشتت كل مجموعة؟
يدل ذلك على أن بيانات المجموعة الأولى أكثر تشتتًا (تباعدًا) حول الوسيط من بيانات المجموعة الثانية، رغم تساوي الوسيطين؛ فالمجموعة الثانية أكثر تجانسًا (تركزًا) حول قيمتها المركزية.
31. متى يُفضَّل استخدام الوسيط ونصف المدى الربيعي كمقياسين للنزعة المركزية والتشتت، بدلاً من المتوسط الحسابي والانحراف المعياري؟
يُفضَّل استخدام الوسيط ونصف المدى الربيعي عندما تحتوي البيانات على قيم متطرفة شديدة أو يكون توزيعها منحرفًا بشكل واضح؛ فهذان المقياسان أكثر مقاومة (robust) لتأثير القيم المتطرفة، بينما يتأثر المتوسط الحسابي والانحراف المعياري بشدة بوجود مثل هذه القيم فيعطيان صورة مضللة عن مركز وتشتت البيانات الفعليين.
32. درجات طلاب في فصلين مختلفين: الفصل الأول له IQR=8 والفصل الثاني له IQR=20، رغم تساوي متوسط الدرجات تقريبًا في الفصلين. ماذا يعني ذلك عمليًا عن أداء الطلاب في كل فصل؟
يعني ذلك أن درجات طلاب الفصل الأول أكثر تجانسًا وتقاربًا (تشتت أقل حول الوسيط)، بينما درجات طلاب الفصل الثاني أكثر تباينًا وتشتتًا (فجوة أكبر بين الطلاب المتفوقين والضعاف)، رغم أن متوسط الأداء العام متقارب في الفصلين.
33. رواتب موظفين في شركة: القيمة العظمى للرواتب مرتفعة جدًا (راتب مدير تنفيذي واحد) بينما باقي الرواتب متقاربة نسبيًا. لماذا يكون نصف المدى الربيعي مقياسًا أنسب من المدى الكلي لوصف تشتت هذه البيانات؟
لأن المدى الكلي سيتأثر بشدة براتب المدير التنفيذي المرتفع جدًا (يُضخّمه بشكل غير واقعي رغم أن باقي الموظفين متقاربون)، بينما نصف المدى الربيعي يعتمد فقط على الرباعيين اللذين يقعان داخل الكتلة الرئيسية من البيانات، فيعطي صورة أكثر واقعية عن تشتت رواتب معظم الموظفين.
34. مجموعة بيانات ذات توزيع متماثل تقريبًا حول الوسيط. ماذا تتوقع عن العلاقة بين (الوسيط − Q1) و(Q3 − الوسيط)؟
تتوقع أن تكون القيمتان متقاربتين جدًا (تقريبًا متساويتين)؛ لأن التماثل حول الوسيط يعني أن نصفي البيانات (الأدنى والأعلى) متشابهان في مدى تشتتهما حول القيمة المركزية.
35. مجموعة بيانات منحرفة نحو القيم الكبيرة (انحراف موجب/يمينًا). ماذا تتوقع عن العلاقة بين (الوسيط − Q1) و(Q3 − الوسيط) في هذه الحالة؟
تتوقع أن تكون (Q3 − الوسيط) أكبر من (الوسيط − Q1)؛ لأن الانحراف نحو القيم الكبيرة يعني أن النصف الأعلى من البيانات (فوق الوسيط) أكثر تمددًا وتشتتًا من النصف الأدنى.
36. طالب يحصل دائمًا على درجات قريبة من رباعياته الخاصة عبر عدة اختبارات (Q1 وQ2 وQ3 متقاربة القيم في كل مرة). ماذا يدل ذلك على أداء هذا الطالب؟
يدل ذلك على أداء متسق ومستقر نسبيًا للطالب عبر الاختبارات المختلفة (تشتت منخفض في نتائجه)، حتى لو تغير مستوى الدرجة الفعلي من اختبار لآخر.
37. عدد 20 قيمة مرتبة تصاعديًا. ما الموضع التقريبي (بدلالة n) للرباعي الأول Q1 باستخدام طريقة (n+1)k/4؟
الموضع = (20+1)×1/4 = 21/4 = 5.25، أي يقع Q1 بين القيمة الخامسة والسادسة في الترتيب، أقرب إلى الخامسة بنسبة 0.75 من المسافة بينهما.
38. لماذا تحتاج حسابات الرباعيات أحيانًا إلى الاستيفاء الخطي (interpolation) بين قيمتين متتاليتين، بدلاً من أخذ قيمة واحدة مباشرة؟
لأن موضع الرباعي المحسوب من الصيغة (n+1)k/4 لا يكون دائمًا رقمًا صحيحًا؛ فعندما يقع الموضع بين رقمين صحيحين (مثل الموضع 5.25 بين الخامس والسادس)، يُستخدم الاستيفاء الخطي لتقدير القيمة المناظرة بدقة أكبر بدلاً من مجرد اختيار أقرب قيمة صحيحة.
39. درجات 11 طالبًا (58 إلى 95) لها متوسط حسابي 76 تقريبًا ونصف مدى ربيعي 10.5. طالب آخر حصل على 95 في نفس هذا الاختبار. هل تقع درجته ضمن النطاق (الوسيط ± نصف المدى الربيعي) تقريبًا؟ (الوسيط=75)
النطاق التقريبي = 75 ± 10.5، أي من 64.5 إلى 85.5 تقريبًا. درجة 95 تقع خارج هذا النطاق بوضوح (أعلى منه)، مما يعني أن أداء هذا الطالب استثنائي، أعلى من النطاق النموذجي لمعظم الطلاب حول الوسيط.
40. ما الفائدة العملية لمقارنة صندوقي ويسكر (Box Plots) لمجموعتين مختلفتين من البيانات على نفس المحور جنبًا إلى جنب؟
تسمح هذه المقارنة البصرية المباشرة بمقارنة المواقع النسبية للوسيطين، وتباين مدى التشتت (عرض كل صندوق)، ووجود أي قيم متطرفة، بين المجموعتين بسرعة ووضوح، دون الحاجة لمقارنة أرقام مجردة فقط.
41. مخطط ساق وأوراق لدرجات 15 طالبًا يُظهر أن معظم الأوراق مُركّزة في ساقين متتاليين فقط (مثلًا الساق 6 والساق 7)، بينما بقية الساقين شبه فارغين. ماذا يدل ذلك على شكل التوزيع؟
يدل ذلك على أن معظم الدرجات تتركز في فئة ضيقة نسبيًا (الستينات والسبعينات في هذا المثال)، أي أن التوزيع متجانس نسبيًا حول هذه المنطقة، مع قلة الدرجات المتطرفة (منخفضة جدًا أو مرتفعة جدًا).
42. لماذا يُعدّ استخدام الرباعيات والمدى الربيعي مفيدًا بشكل خاص عند مقارنة الأداء النسبي لطالب معين داخل مجموعته (كتحديد ما إذا كان ضمن الربع الأعلى أو الأدنى)؟
لأن الرباعيات تُقسّم مجموعة البيانات إلى أربعة أجزاء متساوية تقريبًا في العدد، فمعرفة أي رباعي تقع فيه درجة طالب معين (مثلًا فوق Q3 يعني أنه ضمن أفضل 25% من الطلاب) تعطي مؤشرًا نسبيًا واضحًا وسهل الفهم عن مستوى أدائه مقارنة بزملائه، بغض النظر عن الدرجة المطلقة نفسها.
43. درجات حرارة مدينتين مختلفتين عبر أسبوع واحد لهما نفس الوسيط تمامًا، لكن نصف المدى الربيعي لدرجات المدينة الأولى أكبر بكثير من الثانية. أي المدينتين تتمتع بمناخ أكثر استقرارًا (أقل تقلبًا) خلال هذا الأسبوع؟
المدينة الثانية تتمتع بمناخ أكثر استقرارًا؛ لأن نصف المدى الربيعي الأصغر يعني تشتتًا أقل في درجات الحرارة حول الوسيط، أي تقلبات يومية أقل حدة، رغم تساوي متوسط درجة الحرارة العام (الوسيط) في المدينتين.
44. مخطط ساق وأوراق: الساق 2|الأوراق 3,5,5,8,9 — الساق 3|الأوراق 0,1,4,6 — الساق 4|الأوراق 2,7. ما المدى (الفرق بين القيمة الكبرى والصغرى) لهذه البيانات؟
القيمة الصغرى = 23، والقيمة الكبرى = 47. المدى = 47 − 23 = 24.
45. درجات 9 طلاب مرتبة: 40، 45، 50، 55، 60، 65، 70، 75، 80. احسب Q1 وQ2 وQ3ونصف المدى الربيعي.
n=9. موضع Q1=(10)×1/4=2.5، فتكون Q1=45+0.5×(50−45)=47.5. موضع Q2=(10)×2/4=5، فتكون Q2=القيمة الخامسة=60. موضع Q3=(10)×3/4=7.5، فتكون Q3=70+0.5×(75−70)=72.5. المدى الربيعي=72.5−47.5=25، ونصف المدى الربيعي=12.5.
46. وزن 8 أطفال بالكيلوجرام مرتب: 20، 22، 23، 25، 26، 28، 29، 31. احسب الرباعي الأول والرباعي الثالث ونصف المدى الربيعي.
n=8. موضع Q1=(9)×1/4=2.25، فتكون Q1=22+0.25×(23−22)=22.25. موضع Q3=(9)×3/4=6.75، فتكون Q3=28+0.75×(29−28)=28.75. نصف المدى الربيعي=(28.75−22.25)/2=3.25.
47. مقارنة بين متوسط عدد ساعات النوم لمجموعتين من الطلاب: الأولى وسيطها 7 ساعات ونصف مدى ربيعي 0.5 ساعة، والثانية وسيطها 7 ساعات أيضًا لكن نصف مداها الربيعي 2 ساعة. أي المجموعتين لها عادات نوم أكثر انتظامًا بين أفرادها؟
المجموعة الأولى لها عادات نوم أكثر انتظامًا؛ لأن نصف المدى الربيعي الأصغر (0.5 ساعة) يعني أن عدد ساعات النوم بين أفراد هذه المجموعة متقارب جدًا حول الوسيط، بخلاف المجموعة الثانية التي يتشتت فيها عدد الساعات أكثر (نصف مدى ربيعي أكبر) رغم تساوي الوسيط في المجموعتين.
48. ما العلاقة بين موضع الرباعي الثاني (Q2) في صيغة (n+1)k/4 وموضع الوسيط المعتاد لمجموعة بيانات مرتبة؟
عند k=2 في الصيغة (n+1)k/4 نحصل على (n+1)×2/4 = (n+1)/2، وهي نفسها صيغة موضع الوسيط المعتادة تمامًا؛ مما يؤكد أن الرباعي الثاني Q2 هو نفسه الوسيط دائمًا.
49. إذا كانت جميع قيم مجموعة بيانات متساوية تمامًا (لا يوجد أي تشتت إطلاقًا)، ماذا تكون قيمة المدى الربيعي ونصف المدى الربيعي؟
تكون كلتا القيمتين صفرًا تمامًا؛ لأن Q1 وQ2 وQ3 ستكون جميعها متساوية لنفس القيمة الثابتة الوحيدة الموجودة في البيانات، فيكون الفرق بينها (المدى الربيعي) صفرًا.
50. عند تصميم صندوق ويسكر (Box Plot)، ما الذي يُحدد طول ‘الشوارب’ (الخطوط الممتدة من طرفي الصندوق) عادة في الطريقة القياسية البسيطة (بدون معالجة خاصة للقيم المتطرفة)؟
يمتد كل شارب من طرف الصندوق (Q1 أو Q3) حتى القيمة الصغرى أو الكبرى الفعلية في البيانات على التوالي، في الطريقة القياسية البسيطة التي لا تُميّز القيم المتطرفة عن باقي البيانات بشكل منفصل.