أسئلة تدريبية
1. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=32، Σy=348، Σxy=2363، Σx²=234، Σy²=24862. احسب معامل ارتباط بيرسون بين x وy.
r = [nΣxy − ΣxΣy] / √([nΣx²−(Σx)²][nΣy²−(Σy)²]) = [5×2363 − 32×348] / √([5×234−32²][5×24862−348²]) = [11815−11136] / √([1170−1024][124310−121104]) = 679/√(146×3206) ≈ 679/684.4 ≈ 0.992.
2. بيانات عن 6 قيم: n=6، Σx=21، Σy=158، Σxy=650، Σx²=91، Σy²=4702. احسب معامل الارتباط بين x وy.
r = [6×650 − 21×158] / √([6×91−21²][6×4702−158²]) = [3900−3318] / √([546−441][28212−24964]) = 582/√(105×3248) ≈ 582/584.2 ≈ 0.996.
3. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=75، Σy=270، Σxy=3425، Σx²=1375، Σy²=16150. احسب معامل الارتباط. فسّر إشارة الناتج.
r = [5×3425 − 75×270] / √([5×1375−75²][5×16150−270²]) = [17125−20250] / √([6875−5625][80750−72900]) = −3125/√(1250×7850) ≈ −3125/3133 ≈ −0.998. الإشارة السالبة تعني ارتباطًا عكسيًا قويًا جدًا: كلما زادت x قلّت y.
4. بيانات عن 7 قيم: n=7، Σx=28، Σy=51، Σxy=162، Σx²=140، Σy²=435. احسب معامل الارتباط.
r = [7×162 − 28×51] / √([7×140−28²][7×435−51²]) = [1134−1428] / √([980−784][3045−2601]) = −294/√(196×444) ≈ −294/295 ≈ −0.997.
5. بيانات عن 6 قيم: n=6، Σx=270، Σy=48، Σxy=2200، Σx²=13900، Σy²=400. احسب معامل الارتباط، وفسّر قوته.
r = [6×2200 − 270×48] / √([6×13900−270²][6×400−48²]) = [13200−12960] / √([83400−72900][2400−2304]) = 240/√(10500×96) ≈ 240/1004.5 ≈ 0.239. هذه قيمة صغيرة قريبة من الصفر، فتدل على ارتباط طردي ضعيف جدًا بين المتغيرين.
6. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=15، Σy=7.6، Σxy=27.9، Σx²=55، Σy²=14.18. احسب معامل الارتباط.
r = [5×27.9 − 15×7.6] / √([5×55−15²][5×14.18−7.6²]) = [139.5−114] / √([275−225][70.9−57.76]) = 25.5/√(50×13.14) ≈ 25.5/25.63 ≈ 0.995.
7. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=100، Σy=185، Σxy=5350، Σx²=3000، Σy²=9575. احسب معامل الارتباط.
r = [5×5350 − 100×185] / √([5×3000−100²][5×9575−185²]) = [26750−18500] / √([15000−10000][47875−34225]) = 8250/√(5000×13650) ≈ 8250/8266 ≈ 0.998.
8. ما المدى الممكن لقيم معامل ارتباط بيرسون r؟ وماذا تعني القيمتان الحديتان 1 و−1؟
يتراوح معامل الارتباط دائمًا بين −1 و+1 شاملتين. القيمة r=+1 تعني ارتباطًا طرديًا تامًا (كل النقاط تقع بالضبط على خط مستقيم ميله موجب)، والقيمة r=−1 تعني ارتباطًا عكسيًا تامًا (كل النقاط على خط مستقيم ميله سالب).
9. ماذا يعني الحصول على معامل ارتباط r تساوي قيمته صفرًا تقريبًا بين متغيرين؟
يعني عدم وجود علاقة خطية بين المتغيرين (لا ارتباط خطي واضح)؛ لكن هذا لا ينفي بالضرورة وجود علاقة أخرى غير خطية بينهما، فمعامل بيرسون يقيس قوة العلاقة الخطية تحديدًا.
10. لماذا لا يمكن الاستنتاج بأن وجود ارتباط قوي بين متغيرين يعني بالضرورة أن أحدهما سبب مباشر للآخر؟
لأن الارتباط القوي قد ينشأ لأسباب أخرى غير العلاقة السببية المباشرة، مثل وجود متغير ثالث مشترك يؤثر في كليهما معًا (عامل مشوِّش)، أو مجرد توافق عرضي في البيانات؛ فالارتباط شرط ضروري لكنه غير كافٍ لإثبات السببية.
11. درجتا طالبين في مادتين مختلفتين تمامًا لا علاقة منطقية بينهما، لكن حساب معامل الارتباط بين درجاتهما أعطى قيمة 0.85. كيف تُفسر هذا رغم عدم وجود سبب منطقي واضح للعلاقة؟
قد تكون هذه علاقة ارتباط زائف (spurious correlation)؛ حيث تظهر قيمة رقمية عالية لمعامل الارتباط في عينة بيانات محدودة رغم عدم وجود علاقة سببية حقيقية بين المتغيرين، وقد ينتج ذلك عن الصدفة الإحصائية أو عن عامل ثالث خفي يربط بينهما بشكل غير مباشر.
12. إذا احتوت مجموعة بيانات على قيمة متطرفة واحدة (outlier) بعيدة جدًا عن باقي النقاط، كيف يمكن أن تؤثر هذه القيمة على معامل الارتباط المحسوب؟
يمكن أن تؤثر القيمة المتطرفة بشكل كبير على معامل الارتباط، فقد تُضخّمه (تجعله أقرب إلى 1 أو −1 مما ينبغي) أو تُضعفه (تجعله أقرب إلى الصفر) بشكل غير ممثل لعلاقة باقي البيانات الفعلية، خاصة في العينات الصغيرة حيث يكون تأثير كل نقطة منفردة أكبر نسبيًا.
13. ما الفرق بين الارتباط الطردي (الموجب) والارتباط العكسي (السالب) من حيث سلوك المتغيرين معًا؟
في الارتباط الطردي، يزداد أحد المتغيرين كلما زاد الآخر (يتحركان في نفس الاتجاه). أما في الارتباط العكسي، فيقل أحد المتغيرين كلما زاد الآخر (يتحركان في اتجاهين متعاكسين).
14. باحث درس العلاقة بين عدد ساعات مشاهدة التلفاز أسبوعيًا ودرجات الطلاب في الامتحان، فوجد معامل ارتباط r ≈ −0.997. صف طبيعة هذه العلاقة.
هذه علاقة ارتباط عكسي قوي جدًا تقترب من الارتباط التام؛ فكلما زاد عدد ساعات مشاهدة التلفاز، انخفضت درجة الطالب في الامتحان بشكل شبه منتظم، والعكس صحيح.
15. هل يمكن أن يكون معامل الارتباط بين متغيرين أكبر من +1 أو أصغر من −1 نتيجة خطأ حسابي؟ وضّح كيف يمكن اكتشاف مثل هذا الخطأ.
لا يمكن رياضيًا أن تتجاوز قيمة معامل ارتباط بيرسون الصحيحة المدى [−1, 1]؛ فإذا نتج عن الحساب رقم خارج هذا المدى، فهذا يدل قطعًا على وجود خطأ حسابي في البيانات أو في تطبيق القانون، ويجب مراجعة الحساب من جديد.
16. جدول بيانات عن الأسعار (x) وكمية الطلب (y) لسلعة معينة عبر 5 فترات زمنية، أعطى معامل ارتباط قريبًا من −1. فسّر هذه النتيجة اقتصاديًا.
هذه النتيجة تتفق مع قانون الطلب الاقتصادي المعتاد: كلما ارتفع سعر السلعة، انخفضت الكمية المطلوبة منها بشكل شبه منتظم، وهو ما يعكسه الارتباط العكسي القوي بين السعر والطلب.
17. ما الذي يقيسه معامل ارتباط بيرسون تحديدًا (نوع العلاقة التي يقيسها) وما الذي لا يقيسه؟
يقيس معامل بيرسون قوة واتجاه العلاقة الخطية (المستقيمة) فقط بين متغيرين كميين. ولا يقيس العلاقات غير الخطية (كالعلاقات التربيعية أو الدائرية مثلًا) حتى لو كانت قوية جدًا، وقد يعطي قيمة قريبة من الصفر رغم وجود علاقة غير خطية واضحة بين المتغيرين.
18. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=15، Σy=208، Σxy=583، Σx²=55، Σy²=8822 (عدد الإخوة x مقابل مصروف الجيب الأسبوعي y). احسب معامل الارتباط وفسّره.
r = [5×583 − 15×208] / √([5×55−15²][5×8822−208²]) = [2915−3120] / √([275−225][44110−43264]) = −205/√(50×846) ≈ −205/205.6 ≈ −0.997. ارتباط عكسي قوي جدًا: كلما زاد عدد الإخوة، قلّ مصروف الجيب الأسبوعي للطفل الواحد تقريبًا.
19. ما الفرق الجوهري بين دراسة الارتباط بين متغيرين ودراسة الانحدار بينهما، من ناحية الهدف الأساسي لكل منهما؟
يهدف الارتباط إلى قياس مدى قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين (رقم واحد يصف مدى الارتباط). أما الانحدار فيهدف إلى إيجاد معادلة رياضية (خط مستقيم عادة) تصف هذه العلاقة، بحيث يمكن استخدامها للتنبؤ بقيمة أحد المتغيرين (التابع) بمعلومية قيمة الآخر (المستقل).
20. معامل ارتباط بين متغيرين حُسب فوجد r=0.3. هل هذا يعني عدم وجود أي علاقة بينهما إطلاقًا؟ فسّر.
لا يعني عدم وجود أي علاقة إطلاقًا، بل يعني وجود علاقة خطية ضعيفة نسبيًا بين المتغيرين (أضعف بكثير من علاقة قوية تقترب من 1)؛ وقد توجد علاقة أقوى من نوع غير خطي لا يلتقطها معامل بيرسون بشكل كافٍ.
21. مجموعتان من البيانات لهما نفس معامل الارتباط تمامًا (r=0.9 لكل منهما)، لكن حجم العينة في الأولى n=100 وفي الثانية n=5. أي النتيجتين تكون أكثر موثوقية عمومًا كمؤشر لعلاقة حقيقية بين المتغيرين؟ ولماذا؟
نتيجة العينة الأكبر (n=100) تكون أكثر موثوقية بشكل عام؛ لأن العينات الصغيرة جدًا (كـ n=5) تكون أكثر عرضة لأن يظهر فيها معامل ارتباط مرتفع بالصدفة أو بسبب تأثير قيمة متطرفة واحدة، بينما العينة الأكبر تعطي تقديرًا أكثر استقرارًا وتمثيلًا للعلاقة الحقيقية بين المتغيرين في المجتمع ككل.
22. ما اسم الطريقة الرياضية القياسية المستخدمة لإيجاد معادلة خط الانحدار (الخط الذي يُمثل أفضل تقريب للعلاقة الخطية بين نقاط البيانات)؟
طريقة المربعات الصغرى (least squares method)، والتي تُقلل مجموع مربعات المسافات الرأسية بين نقاط البيانات الفعلية والخط المُقدَّر إلى أصغر قيمة ممكنة.
23. عدد ساعات مشاهدة التلفاز أسبوعيًا (x) مقابل الدرجة في الامتحان (y) لستة طلاب: n=6، Σx=21، Σy=443، Σxy=1451، Σx²=91، Σy²=33277. احسب معامل الارتباط.
r = [6×1451 − 21×443] / √([6×91−21²][6×33277−443²]) = [8706−9303] / √([546−441][199662−196249]) = −597/√(105×3413) ≈ −597/598.6 ≈ −0.997.
24. نمو نبتة بالسنتيمتر (y) مقابل كمية السماد بالجرام (x) على 5 عينات: n=5، Σx=30، Σy=44، Σxy=322، Σx²=220، Σy²=472. احسب معامل الارتباط.
r = [5×322 − 30×44] / √([5×220−30²][5×472−44²]) = [1610−1320] / √([1100−900][2360−1936]) = 290/√(200×424) ≈ 290/291.2 ≈ 0.996.
25. عدد سكان مدينة بالآلاف (x) مقابل عدد المدارس فيها (y) لست مدن: n=6، Σx=210، Σy=68، Σxy=2900، Σx²=9100، Σy²=926. احسب معامل الارتباط.
r = [6×2900 − 210×68] / √([6×9100−210²][6×926−68²]) = [17400−14280] / √([54600−44100][5556−4624]) = 3120/√(10500×932) ≈ 3120/3129.5 ≈ 0.997.
26. لماذا يُفضَّل عادةً وصف معامل الارتباط بأنه ‘قوي’ أو ‘متوسط’ أو ‘ضعيف’ بدلاً من الاكتفاء بذكر قيمته الرقمية فقط عند تفسير النتائج؟
لأن الرقم المجرد وحده قد لا يكون له معنى واضح لغير المتخصصين، بينما الوصف اللفظي (قوي، متوسط، ضعيف) مع الإشارة إلى الاتجاه (طردي أو عكسي) يُسهّل فهم وتفسير قوة العلاقة الفعلية بين المتغيرين بشكل عملي وواضح.
27. ما معادلة خط الانحدار العام لتقدير y بدلالة x، وما الذي يُمثله كل من الثابت a والمعامل b في هذه المعادلة؟
معادلة خط الانحدار العامة: ŷ = a + bx. يمثل a قيمة y المقدَّرة عندما تكون x=0 (نقطة تقاطع الخط مع المحور الرأسي)، بينما يمثل b ميل الخط (معدل التغير في y مقابل كل زيادة وحدة واحدة في x).
28. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=32، Σy=348، Σxy=2363، Σx²=234. احسب معامل الانحدار b ومعادلة خط الانحدار الكامل (استخدم x̄ وȳ المشتقين من المجاميع).
b = [nΣxy − ΣxΣy] / [nΣx²−(Σx)²] = [5×2363 − 32×348] / [5×234−32²] = 679/146 ≈ 4.651. x̄=32/5=6.4، ȳ=348/5=69.6. a = ȳ − b×x̄ = 69.6 − 4.651×6.4 ≈ 69.6 − 29.77 ≈ 39.83. معادلة الانحدار: ŷ ≈ 39.83 + 4.651x.
29. باستخدام معادلة الانحدار ŷ ≈ 39.83 + 4.651x (من السؤال السابق: عدد ساعات المذاكرة الأسبوعية x مقابل الدرجة y)، تنبّأ بدرجة طالب يذاكر 7 ساعات أسبوعيًا.
ŷ = 39.83 + 4.651×7 ≈ 39.83 + 32.56 ≈ 72.4، أي أن الدرجة المتوقعة لهذا الطالب حوالي 72.
30. بيانات عن 6 قيم: n=6، Σx=21، Σy=158، Σxy=650، Σx²=91. احسب معامل الانحدار b ومعادلة خط الانحدار الكامل.
b = [6×650 − 21×158] / [6×91−21²] = 582/105 ≈ 5.543. x̄=21/6=3.5، ȳ=158/6≈26.33. a = 26.33 − 5.543×3.5 ≈ 26.33−19.4 ≈ 6.93. معادلة الانحدار: ŷ ≈ 6.93 + 5.543x.
31. بيانات عن 5 قيم: n=5، Σx=75، Σy=270، Σxy=3425، Σx²=1375 (درجة الحرارة x مقابل مبيعات المشروبات الساخنة y). احسب معادلة خط الانحدار، ثم فسّر إشارة ميله.
b = [5×3425 − 75×270] / [5×1375−75²] = −3125/1250 = −2.5. x̄=75/5=15، ȳ=270/5=54. a = 54 − (−2.5)×15 = 54+37.5 = 91.5. معادلة الانحدار: ŷ = 91.5 − 2.5x. إشارة الميل السالبة تعني أن مبيعات المشروبات الساخنة تنخفض كلما ارتفعت درجة الحرارة، بمعدل 2.5 وحدة لكل درجة حرارة إضافية.
32. باستخدام معادلة الانحدار ŷ = 91.5 − 2.5x من السؤال السابق، تنبّأ بمبيعات المشروبات الساخنة عند درجة حرارة 22°.
ŷ = 91.5 − 2.5×22 = 91.5 − 55 = 36.5، أي مبيعات متوقعة تقارب 36.5 وحدة.
33. بيانات عن نمو نبتة: n=5، Σx=30، Σy=44، Σxy=322، Σx²=220. احسب معادلة خط الانحدار، ثم تنبّأ بنمو النبتة عند استخدام 12 جرامًا من السماد.
b = [5×322 − 30×44] / [5×220−30²] = 290/200 = 1.45. x̄=30/5=6، ȳ=44/5=8.8. a = 8.8 − 1.45×6 = 8.8−8.7 = 0.1. معادلة الانحدار: ŷ = 0.1 + 1.45x. عند x=12: ŷ = 0.1 + 1.45×12 = 0.1+17.4 = 17.5 سم تقريبًا.
34. لماذا يمر خط الانحدار دائمًا بنقطة الوسط الحسابي (x̄, ȳ) لأي مجموعة بيانات؟
لأن معادلة الانحدار مُشتقة أصلًا من شرط أن ŷ = ȳ عندما x = x̄ (وهذا جزء من اشتقاق ثابت المعادلة a = ȳ − bx̄ بطريقة المربعات الصغرى)؛ فتحقيق هذا الشرط رياضيًا يضمن مرور الخط بنقطة الوسط الحسابي دائمًا مهما كانت قيمة الميل b.
35. ما الفرق بين معامل الارتباط r ومعامل ميل الانحدار b، رغم أنهما يُحسبان غالبًا من نفس البيانات؟
معامل الارتباط r رقم معياري (بدون وحدات) يتراوح بين −1 و1، ويقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية فقط، بغض النظر عن وحدات القياس. أما ميل الانحدار b فله وحدات (وحدة y لكل وحدة x)، ويقيس معدل التغير الفعلي في y مقابل كل زيادة وحدة في x، ويمكن أن تكون قيمته أي رقم حقيقي (غير محصورة بين −1 و1).
36. لماذا يُعدّ التنبؤ بقيمة y باستخدام معادلة الانحدار لقيمة x بعيدة جدًا عن مدى بيانات العينة الأصلية (خارج نطاق الملاحظات) أمرًا غير موثوق به عادة؟
لأن معادلة الانحدار مُشتقة فقط من الأنماط الملحوظة داخل مدى البيانات المتوفرة، ولا يوجد ما يضمن استمرار نفس العلاقة الخطية خارج هذا المدى؛ فقد تتغير طبيعة العلاقة تمامًا (تصبح غير خطية مثلًا) عند قيم بعيدة جدًا عن النطاق المدروس، وهو ما يُعرف بخطر الاستقراء (extrapolation).
37. إذا كانت العلاقة بين متغيرين ارتباطًا تامًا (r=1 بالضبط)، ماذا يمكن قوله عن موقع جميع نقاط البيانات بالنسبة لخط الانحدار المحسوب؟
تقع جميع نقاط البيانات بالضبط على خط الانحدار المستقيم نفسه دون أي انحراف عنه؛ فالارتباط التام يعني عدم وجود أي تشتت رأسي للنقاط حول الخط المُقدَّر.
38. بيانات عن 6 قيم: n=6، Σx=270، Σy=1510، Σxy=71050، Σx²=13900 (العمر x مقابل زمن رد الفعل بالميلي ثانية y). احسب معادلة خط الانحدار.
b = [6×71050 − 270×1510] / [6×13900−270²] = [426300−407700] / [83400−72900] = 18600/10500 ≈ 1.771. x̄=270/6=45، ȳ=1510/6≈251.67. a ≈ 251.67 − 1.771×45 ≈ 251.67−79.7 ≈ 171.97. معادلة الانحدار: ŷ ≈ 171.97 + 1.771x.
39. باستخدام معادلة الانحدار ŷ ≈ 171.97 + 1.771x من السؤال السابق، تنبّأ بزمن رد الفعل لشخص عمره 55 سنة.
ŷ ≈ 171.97 + 1.771×55 ≈ 171.97+97.4 ≈ 269.4 ميلي ثانية تقريبًا.
40. ما الفرق بين خط الانحدار المُستخدم للتنبؤ بـ y بمعلومية x، وخط الانحدار المُستخدم للتنبؤ بـ x بمعلومية y؟ هل هما نفس الخط بالضرورة؟
ليسا نفس الخط بالضرورة؛ فخط انحدار y على x يُقلل مجموع مربعات الانحرافات الرأسية (في اتجاه y) عن الخط، بينما خط انحدار x على y يُقلل مجموع مربعات الانحرافات الأفقية (في اتجاه x). ينتج عن ذلك عمومًا معادلتان مختلفتان (وإن كان الخطان يتقاطعان عند نقطة الوسط الحسابي المشتركة (x̄, ȳ))، إلا في حالة الارتباط التام (r=±1) حيث يتطابق الخطان.
41. مصنع يريد التنبؤ بتكلفة الإنتاج الشهرية بناءً على عدد الوحدات المُصنَّعة، فجمع بيانات ماضية وحسب معادلة انحدار. ما الشرط الأساسي الذي يجب توافره في العلاقة بين المتغيرين حتى يكون استخدام الانحدار الخطي البسيط مناسبًا هنا؟
يجب أن تكون العلاقة بين المتغيرين (عدد الوحدات وتكلفة الإنتاج) علاقة خطية تقريبًا (أي أن توزيع النقاط على الرسم البياني الانتشاري يقترب من الاستقامة على خط مستقيم)؛ فإذا كانت العلاقة الحقيقية منحنية بشكل واضح، فإن الانحدار الخطي البسيط لن يُمثلها بدقة كافية.
42. بيانات عن مصروف الجيب مقابل عدد الإخوة: n=5، Σx=15، Σy=208، Σxy=583، Σx²=55. احسب معادلة خط الانحدار، ثم تنبّأ بمصروف طفل لديه 6 إخوة.
b = [5×583 − 15×208] / [5×55−15²] = −205/50 = −4.1. x̄=15/5=3، ȳ=208/5=41.6. a = 41.6 − (−4.1)×3 = 41.6+12.3 = 53.9. معادلة الانحدار: ŷ = 53.9 − 4.1x. عند x=6: ŷ = 53.9 − 4.1×6 = 53.9−24.6 = 29.3 تقريبًا (مع ملاحظة أن x=6 قد يكون خارج أو عند حافة مدى البيانات الأصلية، فيجب الحذر من الاستقراء).
43. لماذا يُنصح عادة برسم لوحة الانتشار (scatter plot) للبيانات قبل حساب معامل الارتباط أو معادلة الانحدار مباشرة؟
لأن الرسم البياني الانتشاري يساعد على الكشف البصري السريع عن نمط العلاقة (خطية أم لا)، ووجود أي قيم متطرفة قد تُشوّه النتائج الحسابية، وما إذا كانت هناك مجموعات فرعية مختلفة السلوك داخل البيانات؛ وهذا يمنع تطبيق أدوات الارتباط والانحدار الخطي بشكل أعمى على بيانات قد لا تناسبها أصلًا.
44. عامل مصنع يعمل بالقطعة: عدد ساعات العمل الإضافي (x) وإنتاجيته اليومية (y) مقابل بعضهما البعض عبر 8 أيام أعطى معامل ارتباط قريبًا من الصفر. ما التفسير المحتمل لهذه النتيجة؟
قد يعني ذلك عدم وجود علاقة خطية واضحة بين ساعات العمل الإضافي والإنتاجية اليومية لهذا العامل؛ فربما تتأثر إنتاجيته بعوامل أخرى غير ساعات العمل (كالتعب أو نوع المهمة)، أو أن العلاقة الحقيقية (إن وجدت) غير خطية، مثل ازدياد الإنتاجية بداية ثم انخفاضها بعد ساعات طويلة (علاقة منحنية لا يلتقطها معامل بيرسون الخطي).
45. ما أهمية معرفة قيمة a (نقطة تقاطع خط الانحدار مع المحور الرأسي) عمليًا، وهل يكون لها دائمًا معنى تفسيري واقعي؟
تمثل a القيمة المُتوقعة لـ y عندما تكون x=0. لكنها لا تحمل دائمًا معنى تفسيريًا واقعيًا، خاصة إذا كانت x=0 تقع خارج مدى البيانات الأصلية المرصودة أو لا معنى فيزيائي/عملي لها في السياق (كأن يكون x عمرًا أو درجة حرارة لا تصل عادة للصفر ضمن سياق الدراسة).
46. مقارنة بين مجموعتي بيانات: الأولى معامل ارتباطها r=0.95 والثانية r=−0.95. أيهما تدل على علاقة أقوى بين المتغيرين؟
قوة العلاقة في الحالتين متساوية تمامًا (0.95 في كلتا الحالتين بالقيمة المطلقة)؛ الفرق الوحيد هو الاتجاه: الأولى ارتباط طردي قوي، والثانية ارتباط عكسي قوي بنفس الدرجة من القوة.
47. لماذا تُعدّ طريقة المربعات الصغرى (المُستخدمة لاشتقاق معادلة خط الانحدار) أفضل من مجرد رسم خط ‘بالعين’ عبر نقاط البيانات؟
لأن طريقة المربعات الصغرى تعطي حلًا رياضيًا موضوعيًا وقابلًا لإعادة الإنتاج بدقة (يُقلل مجموع مربعات الانحرافات الرأسية إلى أصغر قيمة ممكنة رياضيًا)، بخلاف الرسم اليدوي ‘بالعين’ الذي يعتمد على التقدير الشخصي ويختلف من شخص لآخر ولا يضمن أفضل تمثيل ممكن للبيانات.
48. شركة تسويق تدرس العلاقة بين ميزانية الإعلان الشهرية (x بالآلاف) والمبيعات (y بالآلاف): n=6، Σx=21، Σy=158، Σxy=650، Σx²=91، Σy²=4702. احسب معامل الارتباط ومعادلة الانحدار معًا، ثم تنبّأ بالمبيعات عند ميزانية إعلان 7 آلاف.
معامل الارتباط: r = [6×650−21×158]/√([6×91−21²][6×4702−158²]) = 582/√(105×3248) ≈ 0.996 (ارتباط طردي قوي جدًا). معادلة الانحدار: b=582/105≈5.543، x̄=3.5، ȳ≈26.33، a≈26.33−5.543×3.5≈6.93، فتكون ŷ≈6.93+5.543x. عند x=7: ŷ≈6.93+5.543×7≈45.7 ألف تقريبًا.
49. إذا ضُربت جميع قيم x في مجموعة بيانات في ثابت موجب (مثلًا تحويل الوحدة من كيلومترات إلى أمتار)، هل يتغير معامل الارتباط r بين x وy؟ ولماذا؟
لا يتغير معامل الارتباط r؛ لأنه مقياس معياري (بدون وحدات) لا يتأثر بتغيير وحدات القياس أو تحجيم البيانات بثابت موجب، بخلاف ميل الانحدار b الذي يتغير فعليًا بتغيّر الوحدات لأنه يحمل وحدات y لكل وحدة x.
50. لماذا تحتاج القيم الإحصائية مثل Σx وΣy وΣxy وΣx² وΣy² إلى حساب دقيق ومنظم (عادة في جدول) قبل استخدامها في معادلات الارتباط والانحدار؟
لأن معادلات الارتباط والانحدار تعتمد بالكامل على هذه المجاميع الإحصائية الدقيقة؛ فأي خطأ صغير في حساب إحدى هذه القيم (خاصة Σxy وΣx²) يمكن أن يُغيّر النتيجة النهائية بشكل ملحوظ، لذا يُنظّم الحساب عادة في جدول يضم أعمدة x وy وxy وx² وy² لكل نقطة بيانات، لتقليل احتمالية الخطأ الحسابي.